Fräscha zombier: integraler (Matematik/Matte 4/Integraler och tillämpningar)

I uppgiften står det att 0 < a < b < 6.

Vi vet inte hur f(x) ser ut för x > 6. Funktionen kanske inte ens är definierad för x > 6, se figuren.

Egentligen behöver du inte räkna ut b på det sättet. Triangeln till vänster med bas: a måste vara lika stor som triangeln längst till höger med bas: 6-b. Alltså fås:

$b = 6-a = 6 - \sqrt{6}$

Dr. G skrev :
I uppgiften står det att 0 < a < b < 6.
Vi vet inte hur f(x) ser ut för x > 6. Funktionen kanske inte ens är definierad för x > 6, se figuren.

Ah of course, om man slarver också med att läsa uppgiften kommer man inte fram Oo... Tack för hjälpen!

tomast80 skrev :
Egentligen behöver du inte räkna ut b på det sättet. Triangeln till vänster med bas: a måste vara lika stor som triangeln längst till höger med bas: 6-b. Alltså fås:
b=6-a=6-6 b = 6-a = 6 - \sqrt{6}

Det är lite för brilliant för mig tyvärr. Hur kom du på att man kunde omvandla saken till 2 triangel med bas a och b och höjden 6? Om jag ritar figur får jag en okänd bas, kolla:

http://sketchtoy.com/68262830

Hela den stora triangeln har arean 18 ae. Vardera delen skall alltså ha arean 6 ae. Triangeln längst till vänster, exempelvis, har arean $\frac{x\cdot2x}2=6$ . Ekvationen $2x^2=12$ har lösningarna $\pm\sqrt6$ , men a måste vara större än 0, så den negativa lösningen går bort. Du kan se på skissen att b = 6-a.

smaragdalena skrev :
Hela den stora triangeln har arean 18 ae. Vardera delen skall alltså ha arean 6 ae. Triangeln längst till vänster, exempelvis, har arean $\frac{x\cdot2x}2=6$ . Ekvationen $2x^2=12$ har lösningarna $\pm\sqrt6$ , men a måste vara större än 0, så den negativa lösningen går bort. Du kan se på skissen att b = 6-a.

Sorry jag ser inte!

Jag ser att b=6-(a+p) typ.

Arean av triangeln längst till vänster är lika med arean av triangeln längst till höger (eftersom hela triangeln är symmetrisk med toppen mitt emellan de andra hörnen).

Daja skrev :
smaragdalena skrev :
Hela den stora triangeln har arean 18 ae. Vardera delen skall alltså ha arean 6 ae. Triangeln längst till vänster, exempelvis, har arean $\frac{x\cdot2x}2=6$ . Ekvationen $2x^2=12$ har lösningarna $\pm\sqrt6$ , men a måste vara större än 0, så den negativa lösningen går bort. Du kan se på skissen att b = 6-a.
Sorry jag ser inte!
Jag ser att b=6-(a+p) typ.

OBS! Basen är inte b i triangeln längst till höger, vilken man får intrycket av i din figur. Jag tror det är det som skapar förvirringen. b är avståndet från origo till början på basen. Basen är alltså: $6 - b = a$

I svart menar ni? Hmm det var 6:or... b är i blå :)

Daja skrev :
I svart menar ni? Hmm det var 6:or... b är i blå :)

Nej, jag menade b i blått!

Hej!

Definiera funktionen

$\displaystyle F(t) = \int_0^t f(x) \,\text{d}x.$

Du vill bestämma talen $0<a<b$ sådana att

$\displaystyle F(a) = F(b)-F(a) = F(6) - F(b).$

Eftersom $F(6) = \frac{6\cdot 6}{2} = 18$ så är $F(a) = 6$ och $F(b) - F(a) = 6$ och $F(6)-F(b) = 6$ , med andra ord är

$F(a) = 6$ och $F(b) = 12;$

dessa två ekvationer låter dig bestämma talen $a$ och $b$ .

Eftersom funktionen $f$ är positiv så är funktionen $F$ strängt växande. Då $F(3) = \frac{3\cdot 6}{2} = 9$ så medför det att $0 < a < 3 < b$ vilket talar om för dig att för att bestämma talet $a$ ska du integrera funktionen $f(x) = 2x$ och för att bestämma talet $b$ ska du även integrera funktionen $f(x) = 12 - 2x.$

$\displaystyle 6 = \int_0^{a} 2x\,\text{d}x \text{ och }12 = 9 + \int_3^{b}12-2x\,\text{d}x$ .

Albiki

tomast80 skrev :
Daja skrev :
I svart menar ni? Hmm det var 6:or... b är i blå :)
Nej, jag menade b i blått!

Jag ger mig.

Orkar du rita så jag ser hur det borde ser ut?

Albiki skrev :
Hej!
Definiera funktionen
$\displaystyle F(t) = \int_0^t f(x) \,\text{d}x.$
Du vill bestämma talen $0<a<b$ sådana att
$\displaystyle F(a) = F(b)-F(a) = F(6) - F(b).$
Eftersom $F(6) = \frac{6\cdot 6}{2} = 18$ så är $F(a) = 6$ och $F(b) - F(a) = 6$ och $F(6)-F(b) = 6$ , med andra ord är
$F(a) = 6$ och $F(b) = 12;$
dessa två ekvationer låter dig bestämma talen $a$ och $b$ .
Eftersom funktionen $f$ är positiv så är funktionen $F$ strängt växande. Då $F(3) = \frac{3\cdot 6}{2} = 9$ så medför det att $0 < a < 3 < b$ vilket talar om för dig att för att bestämma talet $a$ ska du integrera funktionen $f(x) = 2x$ och för att bestämma talet $b$ ska du även integrera funktionen $f(x) = 12 - 2x.$
$\displaystyle 6 = \int_0^{a} 2x\,\text{d}x \text{ och }12 = 9 + \int_3^{b}12-2x\,\text{d}x$ .
Albiki

Hej igen!

Det positiva talet $a$ bestäms av ekvationen

$6 = a^2 - 0^2$ ,

och det positiva talet $b$ (som är större än 3 men mindre än 6) bestäms av ekvationen

$3 = b(12-b) - 3(12-3),$

som är samma sak som andragradsekvationen

$b^2 - 12b + 30 = 0.$

Resultat: Talet $a = \sqrt{6}$ (som är ungefär $2.45$ ) och talet $b = 6-\sqrt{6}$ (som är ungefär $3.55$ ).

Vad? Men varför? Men hur kan du och ni tänka på så smidiga säker? Konvertera integraler i andragradare..

Daja skrev :
Vad? Men varför? Men hur kan du och ni tänka på så smidiga säker? Konvertera integraler i andragradare..

Första steget är att förstå variablerna.

Området består av tre delar:

1) Första triangeln med bas $a$ .

2) Femhörning med bas $b-a$ .

3) Andra triangeln med bas $6-b$ .

Är du med så långt?

Daja skrev :
Vad? Men varför? Men hur kan du och ni tänka på så smidiga säker? Konvertera integraler i andragradare..

Hej!

Förstår du vad funktionen jag benämnt $F(t)$ beskriver?

Förstår du att de två talen $a$ och $b$ bidrar till att dela in arean

$\displaystyle \int_{0}^{6} f(x) \text{d}x$

i tre lika stora delar, vardera $6$ areaenheter?

Förstår du att funktionen $F$ kan användas för att uttrycka var och en av dessa tre areor?

Albiki

Daja skrev :
Vad? Men varför? Men hur kan du och ni tänka på så smidiga säker? Konvertera integraler i andragradare..

Hej igen!

Förstår du att om funktionen $f$ är positiv så är funktionen $F$ strängt växande?

Förstår du hur man kan använda det faktum att $F$ är strängt växande för att kunna avgöra att talet $a$ måste vara mellan talen $0$ och $3$ och att talet $b$ måste vara mellan talen $3$ och $6$ ?

Förstår du varför det är viktigt att avgöra på vilken sida om talet $3$ som talen $a$ och $b$ befinner sig?

Albiki

Daja skrev :
Vad? Men varför? Men hur kan du och ni tänka på så smidiga säker? Konvertera integraler i andragradare..

Hej igen!

Förstår du varför

$6 = \int_{0}^{a} 2x \text{d}x$

och varför

$12 = 9 + \int_{3}^{b} 12 - 2x \text{d}x$ ?

Förstår du att funktionen

$\displaystyle f(x) = \begin{matrix}2x & \text{ om } & 0< x="">< 6\end{matrix}="">$ ?

Albiki

$\displaystyle f(x) = \begin{matrix}2x & , & 0<><6 \end{matrix}="">$

$\displaystyle f(x) = \begin{matrix}2x&\ ,&0<><6\end{matrix}>$

Du behöver inte beräkna några integraler alls för att lösa den här uppgiften - bara förstå att två av integralerna "föreställer" var sin lika stor triangel (och att den tredje, eller mittersta, integralen är en femhörning med lika stor area som de båda trianglarna). Det är helt OK, rentav klokt, att beräkna arean av en triangel på ett enklare sätt än att beräkna en integral (även om det också är korrekt).

Jag ska försöka att ta ett fråga i taget!

@Tomast

Området består av tre delar:
1) Första triangeln med bas a.
2) Femhörning med bas b−a.
3) Andra triangeln med bas 6−b.

Det är jag med, därför är jag inte med när ni beskriver basen med a=6-b. Det ser ut som det finns bara 2 figurer!

@Albiki:

Ja, fast jag förstår inte varför den är strängt växande. Jag bara ser att det växer med koeff 2.

Ja!

Nej. Jag ser den som $\int_{b}^{6} 12 - 2 x d x$ bara...

Då kommer massor ''error parsing MathML'' i dina post. Error 520 och error 538 error parsin attribute name.

@Smaragdalena:

Du behöver inte beräkna några integraler alls för att lösa den här uppgiften - bara förstå att två av integralerna "föreställer" var sin lika stor triangel (och att den tredje, eller mittersta, integralen är en femhörning med lika stor area som de båda trianglarna). Det är helt OK, rentav klokt, att beräkna arean av en triangel på ett enklare sätt än att beräkna en integral (även om det också är korrekt).

Jag känner att det ligger nåt roligt a-ha moment här men nej, kommer inte dit. Pga den femhörning mitt i. Hur kan jag avgöra samtidigt basen och höjden?

Du behöver inte beräkna någonting alls om femhörningen i mitten. Du vet att alla tre delarna tillsammans är en stor triangel med basen 6 och höjden 6. Den triangeln har alltså arean 18 ae. Du vet också att de tre delarna - triangeln till vänster, femhörningen i mitten och triangeln till höger - allihop är lika stora, d v s har samma area. Om var och en av dessa delar är lika stora, och de har arean 18 ae totalt, måste var och en av delarna ha arean 6 ae. Eftersom de tre delarna är lika stora, räcker det att räkna ut arean för en av dem, och jag tycker det är lättast att göra det för triangeln längst till vänster - den som har en sida som är x-axeln, en sida som är parallell med y-axeln och en sida som sammanfaller med den räta linje som går genom punkterna (0,0) och (3,6), d v s linjen y = 2x. Arean är en triangel är $\frac{b a s e n \cdot h ö j d e n}{2} = \frac{x \cdot 2 x}{2} = x^{2}$ , och du vet att arean är lika med 6, så alltså är $x = \sqrt{6}$ (eftersom en sträcka måste vara positiv, kan man strunta i den negativa lösningen till andragradsekvationen). Symmetrin bör att punkten b måste liggalika långt från 6 som punkten a är från 0, så $b = 6 - a = 6 - \sqrt{6}$ . Eftersom du redan vet värdena på både a och b kan du sätta in värdena i den mittersta integralen utan att behöva räkna ut dem en gång till.

smaragdalena skrev :
Du behöver inte beräkna några integraler alls för att lösa den här uppgiften - bara förstå att två av integralerna "föreställer" var sin lika stor triangel (och att den tredje, eller mittersta, integralen är en femhörning med lika stor area som de båda trianglarna). Det är helt OK, rentav klokt, att beräkna arean av en triangel på ett enklare sätt än att beräkna en integral (även om det också är korrekt).

Hej!

Metoden som du föreslår fungerar endast på detta problem, men metoden med integraler fungerar på generella problem av detta slag. Hur skulle du göra om grafen till $f$ inte vore styckvis linjär?

Albiki

Asså Smaragdalena, det är super fint löst! Jag lovar att även om mitt liv ståd på spel skulle jag aldrig hade tänkt på att bara sätta basen som x och höjden som 2x!

Samma för att hitta $6 - \sqrt{6}$ , vi gör bara en lite moonwalk backåt från x=6?

Alibiki, jag vill gärna masterera den här integral, men jag har ramlat ner på:

där jag fortfarande ligger...

Hej Daja!

Kan du beräkna integralen?

Förstår du varför det är just den integralen som ska beräknas?

Albiki

Nej, som jag ser det, y=12-2x är det är den lutande linje med negativ k som har för integrationsgräns $\int_{b}^{6}$ ...

Hej!

Jag studerar integralen från $0$ till $b$ . Du studerar integralen från $b$ till $6$ . Båda alternativen är lika bra, eftersom

$\int_b^6 f(x)\, dx$

är samma sak som

$18 - \int_0^b f(x)\,dx$ .

Integralen som jag studerar är

$\displaystyle F(b) = \int_0^b f(x)\,dx = \int_0^3 f(x)\,dx + \int_3^b f(x)\,dx = 9 + \int_3^b f(x)\,dx$ .

Sedan är

$\displaystyle \int_3^b f(x)\,dx = \int_3^b 12-2x \,dx = [12x-x^2]_3^b = [x(12-x)]_3^b = b(12-b)-3(12-3).$

Albiki

Albiki skrev :
smaragdalena skrev :
Du behöver inte beräkna några integraler alls för att lösa den här uppgiften - bara förstå att två av integralerna "föreställer" var sin lika stor triangel (och att den tredje, eller mittersta, integralen är en femhörning med lika stor area som de båda trianglarna). Det är helt OK, rentav klokt, att beräkna arean av en triangel på ett enklare sätt än att beräkna en integral (även om det också är korrekt).
Hej!
Metoden som du föreslår fungerar endast på detta problem, men metoden med integraler fungerar på generella problem av detta slag. Hur skulle du göra om grafen till $f$ inte vore styckvis linjär?
Albiki

Visst, metoden med integraler fungerar i många fler situationer, men i DEN HÄR uppgifter är det som att skjuta mygg med kanon, tycker jag. I DEN HÄR uppgiften är det väsentliga att inse att de tre areorna är lika stora.

smaragdalena skrev :
Albiki skrev :
smaragdalena skrev :
Du behöver inte beräkna några integraler alls för att lösa den här uppgiften - bara förstå att två av integralerna "föreställer" var sin lika stor triangel (och att den tredje, eller mittersta, integralen är en femhörning med lika stor area som de båda trianglarna). Det är helt OK, rentav klokt, att beräkna arean av en triangel på ett enklare sätt än att beräkna en integral (även om det också är korrekt).
Hej!
Metoden som du föreslår fungerar endast på detta problem, men metoden med integraler fungerar på generella problem av detta slag. Hur skulle du göra om grafen till $f$ inte vore styckvis linjär?
Albiki
Visst, metoden med integraler fungerar i många fler situationer, men i DEN HÄR uppgifter är det som att skjuta mygg med kanon, tycker jag. I DEN HÄR uppgiften är det väsentliga att inse att de tre areorna är lika stora.

Hej!

För att nå insikten att de tre areorna är lika stora räcker det att kunna läsa problemtexten och att förstå att integraler och areor har med varandra att göra.

Albiki

Albiki skrev :
smaragdalena skrev :
Albiki skrev :
smaragdalena skrev :
Du behöver inte beräkna några integraler alls för att lösa den här uppgiften - bara förstå att två av integralerna "föreställer" var sin lika stor triangel (och att den tredje, eller mittersta, integralen är en femhörning med lika stor area som de båda trianglarna). Det är helt OK, rentav klokt, att beräkna arean av en triangel på ett enklare sätt än att beräkna en integral (även om det också är korrekt).
Hej!
Metoden som du föreslår fungerar endast på detta problem, men metoden med integraler fungerar på generella problem av detta slag. Hur skulle du göra om grafen till $f$ inte vore styckvis linjär?
Albiki
Visst, metoden med integraler fungerar i många fler situationer, men i DEN HÄR uppgifter är det som att skjuta mygg med kanon, tycker jag. I DEN HÄR uppgiften är det väsentliga att inse att de tre areorna är lika stora.
Hej!
För att nå insikten att de tre areorna är lika stora räcker det att kunna läsa problemtexten och att förstå att integraler och areor har med varandra att göra.
Albiki

Precis.

Synnerligen intressant att följa den diskussion om lösningsmetodik mellan två giganter på Pluggakuten!

Kommer här med ytterligare ett lösningsförslag i vilket man utgår från arean för femhörningen i mitten. Jag kallar dess bas för p enligt figur ovan. Då gäller att:

$p = b-a$

Arean för femhörningen kan då skrivas som:

$p\cdot 2 \cdot (3-\frac{p}{2}) + \frac{1}{2} \cdot p \cdot (6-2(3-\frac{p}{2})) = 6 \Righrarrow$

$p^2-12p+12= 0$

$p = 6 \pm \sqrt{24} = 6 \pm 2\sqrt{6}$

Den ena roten faller bort p.g.a. geometrin, vilket ger:

$p = 6 - 2\sqrt{6}$

Slutligen fås:

$a = 3 - \frac{p}{2} = \sqrt{6}$

$b = a+p = \sqrt{6} + 6 -2\cdot \sqrt{6} = 6 -\sqrt{6}$

tomast80 skrev :
Synnerligen intressant att följa den diskussion om lösningsmetodik mellan två giganter på Pluggakuten!
Kommer här med ytterligare ett lösningsförslag i vilket man utgår från arean för femhörningen i mitten. Jag kallar dess bas för p enligt figur ovan. Då gäller att:
$p = b-a$
Arean för femhörningen kan då skrivas som:
$p\cdot 2 \cdot (3-\frac{p}{2}) + \frac{1}{2} \cdot p \cdot (6-2(3-\frac{p}{2})) = 6 \Righrarrow$
$p^2-12p+12= 0$
$p = 6 \pm \sqrt{24} = 6 \pm 2\sqrt{6}$
Den ena roten faller bort p.g.a. geometrin, vilket ger:
$p = 6 - 2\sqrt{6}$
Slutligen fås:
$a = 3 - \frac{p}{2} = \sqrt{6}$
$b = a+p = \sqrt{6} + 6 -2\cdot \sqrt{6} = 6 -\sqrt{6}$

Jo du, det liknar när gudarna diskuterar om universum lagar och stjärnor riktning och bönden fortfarande undrar om den måste offra en get eller en ko för att lösa sina (matte)problem:

@Alibiki:

Nu är jag äntligen med på din grej med 3:an! Och 9 är integralen från noll till 3. Du har delat triangel i 2 bitar och arbetar från 3. (Om du läser detta Yngve, ja, jag har ritat figur men jag hittar inte min mobil för att fota den!)

Nu lyckas jag att göra en ny misstag:

$b (12 - b) - 3 (12 - 3)$ ger oss andra gradare

$b^{2} - 12 b + 27$ som her lösning $6 - \sqrt{36 - 27}$ ? Som inte är 6?

@Tomast:

Jag har ritat och delat femhörningen i en rektangulär och en triangel.

Femhörnings basen är 2 * (3- p/2), så rektangelns (?) bas är 2 * (3- p/2) och triangelns bas är också 2 * (3- p/2). Höjden är också nåt sånt, 6-något.

Men jag kommer inte fram till din formeln där allt uttrycks i terms av p. (kan man säga m a p här?)