Från rekursiv till explicit

Om du vill kan du utnyttja summan av en geometrisk serie $\sum _{k=0}^{n-1} x^k=\frac{1-x^n}{1-x}$ och erhålla

$h_n=100\left(2-(\frac{3}{5})^{n-1}\right)$

Guggle skrev :

Om du vill kan du utnyttja summan av en geometrisk serie $\sum _{k=0}^{n-1} x^k=\frac{1-x^n}{1-x}$ och erhålla

$h_n=100\left(2-(\frac{3}{5})^{n-1}\right)$

1. Varför tar du (3/5)^(n-1) istället för (3/5)^n bara?

2. Borde det inte finnas något begynnelsevärde i den geometriska summan enligt $s_n=a_1\frac{1-k^n}{1-k}$?

3. Hur kan du uttrycka en geometrisk summa då kvoten mellan 100, 140, 164 samt 178,4 är ej konstant??

Hej!

Den rekursiva formeln säger att $h_2 = h_1 + 40.$

Den rekursiva formeln säger att $h_3 = h_2 + 40\cdot 0.6 = h_1 + 40 + 40 \cdot 0.6.$

Den rekursiva formeln säger att $h_4 = h_3 + 40 \cdot 0.6^2 = h_1 + 40 + 40 \cdot 0.6 + 40 \cdot 0.6^2.$

Den rekursiva formeln säger att $h_n = h_1 + 40 \cdot (1+0.6 + 0.6^2 + \cdots + 0.6^{n-2}).$

Summan $1+0.6 + 0.6^2 + \cdots + 0.6^{n-2}$ är geometrisk vilket gör att den kan skrivas på ett kortfattat sätt:

    $\displaystyle 1+0.6 + 0.6^2 + \cdots + 0.6^{n-2} = \frac{1-0.6^{n-1}}{0.4}.$

Det ger den explicita formeln

    $\displaystyle h_n = h_1 + 100\cdot (1-0.6^{n-1})\ , \quad n \geq 1.$

Du kan inte komma fram till att $h_1 = 100$ från denna formel. Sätter du in $n=1$ får du bara resultatet att $h_1 = h_1.$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Den rekursiva formeln säger att $h_2 = h_1 + 40.$

Den rekursiva formeln säger att $h_3 = h_2 + 40\cdot 0.6 = h_1 + 40 + 40 \cdot 0.6.$

Den rekursiva formeln säger att $h_4 = h_3 + 40 \cdot 0.6^2 = h_1 + 40 + 40 \cdot 0.6 + 40 \cdot 0.6^2.$

Den rekursiva formeln säger att $h_n = h_1 + 40 \cdot (1+0.6 + 0.6^2 + \cdots + 0.6^{n-2}).$

Summan $1+0.6 + 0.6^2 + \cdots + 0.6^{n-2}$ är geometrisk vilket gör att den kan skrivas på ett kortfattat sätt:

    $\displaystyle 1+0.6 + 0.6^2 + \cdots + 0.6^{n-2} = \frac{1-0.6^{n-1}}{0.4}.$

Det ger den explicita formeln

    $\displaystyle h_n = h_1 + 100\cdot (1-0.6^{n-1})\ , \quad n \geq 1.$

Du kan inte komma fram till att $h_1 = 100$ från denna formel. Sätter du in $n=1$ får du bara resultatet att $h_1 = h_1.$

Albiki

Betyder det att min formel är fel? Hur vet man det?

Din formel blir rätt om du skriver h_N i stället för h_n. Du har ju använt n som löpande index i summan och N som antalet termer.

Henrik Eriksson skrev :

Din formel blir rätt om du skriver h_N i stället för h_n. Du har ju använt n som löpande index i summan och N som antalet termer.

Vad menas med löpande index i summan? Är det inte samma sak som antalet termer?

Om det står att n ska gå från 2 till 17 kallar man n för löpande index.

Hej Kombinatorik!

Förstår du att det som jag skrivit är relevant för uppgiften?

Förstår du det jag skrivit?

Albiki

Albiki skrev :

Hej Kombinatorik!

Förstår du att det som jag skrivit är relevant för uppgiften?

Förstår du det jag skrivit?

Albiki

Ja, jag förstår det du skriver. Men jag förstår inte varför jag får annorlunda formel (jag antar då att det blir som att jag tror att jag förstår men gör det inte i verkligheten när jag själv löser uppgifter)

Min tolkning är att kombinatorik egentligen menar att hans egen lösning är

$h_n=100+40\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{3}{5} \right )^{k-2}$

Och nu är han stressad över vad som händer när n=1.

Hej Kombinatorik!

Din formel säger att

    $\displaystyle h_{n} = 100 + 40 \cdot (1+0.6+0.6^2+\cdots + 0.6^{n-2})$,

vilket är samma sak som jag skrivit. (Jag har rättat till ditt misstag med potensen $0.6^{N-2}$ och du skriver 100 när jag skriver $h_{1}$.)

Albiki