Från parametrisk form till planets ekvation

Om vi har ett plan skrivet på parametrisk form:

$(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ - 3 \end{matrix})$

och vi är intresserade av planets ekvation Ax + By + Cz = D,

då har jag upptäckt två metoder för att få planets ekvation.

1). Kryssprodukten mellan riktningsvektorerna ovan ger planets normal,

vilket (efter några steg) leder fram till ekvationen.

2). Hitta tre punkter på planet, sätt in dom 3 punkterna i ekvationen Ax + By + Cz = D,

detta ger ett ekvationssystem med 4 okända som borde kunna lösas.

Men, dom här metoderna anser jag är ganska ansträngande, finns det ingen metod som inte är tidskrävande
för att snabbt övergå mellan parametrisk form och planets ekvation?

Vad anser ni är mest effektiva sättet?

du kan använda determinanter för att gå över till affin form. Då skriver du

$|\begin{matrix} x - 2 & 0 & 5 \\ y - 1 & 2 & 5 \\ z - 4 & 1 & - 3 \end{matrix}| = 0$

sedan kan du lösa den med sirrus regel eller något annan metod

ItzErre skrev:
du kan använda determinanter för att gå över till affin form. Då skriver du

$|\begin{matrix} x - 2 & 0 & 5 \\ y - 1 & 2 & 5 \\ z - 4 & 1 & - 3 \end{matrix}| = 0$

sedan kan du lösa den med sirrus regel eller något annan metod

Det verkar ju lika tidskrävande (eller ännu mer) jämfört med ovanstående metoder.

Då kan jag dra slutsatsen att det inte finns någon jätte snabb metod att gå från parameterform till planets ekvation?

Någon jättesnabb metod fungerar inte, du måste beräkna en kryssprodukt (eller en skalär trippelprodukt). Men ItzErres metod är smidigare än den metod du föreslår eftersom den bara består av ett enda steg och inga ekvationslösningar.

Beräkningstekniskt är det nämligen exakt lika jobbigt att beräkna trippelprodukten $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$ som att beräkna $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ . Orsaken är att komponenterna för vektorn $(\mathbf{a})$ ersätter basvektorerna i uttrycket för vektorn $(\mathbf{b}\times \mathbf{c})$ .

I ditt exempel är kryssprodukten (dvs en normal) till planet

$(0,2,1)\times(5,5,-3)=11\mathbf{e}_x-5\mathbf{e}_y+10\mathbf{e}_z$

Alltså ges planets ekvation direkt av (utnyttja punkten $(2,1,4)$ från planets parameterform)

$11(x-2)-5(y-1)+10(z-4)=0$

$11x-5y+10z=57$

Allmänt har planet med parameterformen $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+s\vec{u}+t\vec{v}$ normalformen

$(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=0$

Svara

Visa senaste svar