Från parameterform till normalform

De använder sig av likheten de ställt upp (fast de har skrivit fel), alltså att:

$\left(\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{z}\right)\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{s}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{t}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{)}$

Det ger ekvationssystemet:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=-1+2s-t \\ y=3s+t\\ z=2+s+t\end{array}\right.~ \left\{\begin{array}{l}x+1=+2s-t \\ y=3s+t\\ z-2=s+t\end{array}\right. \end{gathered}$$

Härifrån kan systemet lösas för att få [ekvation med x, y, z här] = 0. Sedan har de dividerat båda led med två för att förenkla så långt det går. Ärligt talat, så fort en lärt sig kryssa vektorer (eller överhuvudtaget hitta normalvektorer till en vektor) är det en mycket enklare, och mer intuitiv metod för att ta fram en normalekvation. 

Hej!

• Från $2s-t=x+1$ och $3s+t=y$ får man att

    $(2s-t)+(3s+t)=(x+1)+y\iff 5s = x+y+1.$

Detta uttrycker parametern $s$ i termer av $x$ och $y$ (och $z$).

• Från $s+t=z-2$ och $3s+t=y$ får man

    $(3s+3t)-(3s+t)=(3z-6)-y\iff 2t=3z-y-6$.

Detta uttrycker parametern $t$ i termer av och $y$ och $z$ (och $x$).

• Sambandet $2(5s)+5(2t)=10z-20$ kan skrivas som ett samband mellan $x$ och $y$ och $z$.

    $2(x+y+1)+5(3z-y-6)=10z-20\iff 2x+2y+15z-5y-10z=-20-2+30\iff 2x-3y+5z=8.$

Albiki skrev:

Hej!

• Från $2s-t=x+1$ och $3s+t=y$ får man att

    $(2s-t)+(3s+t)=(x+1)+y\iff 5s = x+y+1.$

Detta uttrycker parametern $s$ i termer av $x$ och $y$ (och $z$).

• Från $s+t=z-2$ och $3s+t=y$ får man

    $(3s+3t)-(3s+t)=(3z-6)-y\iff 2t=3z-y-6$.

Detta uttrycker parametern $t$ i termer av och $y$ och $z$ (och $x$).

• Sambandet $2(5s)+5(2t)=10z-20$ kan skrivas som ett samband mellan $x$ och $y$ och $z$.

    $2(x+y+1)+5(3z-y-6)=10z-20\iff 2x+2y+15z-5y-10z=-20-2+30\iff 2x-3y+5z=8.$

Hej Albiki tack för det renskrivna svaret! Jag kände att jag förstod hur svaret uppnåddes (manipulationen av operationer) men har har två följdfrågor kring den bakomliggande metodologin; 

1) Hur kom du på att helt ”plötsligt” addera, exempelvis, ekvation 1 och 2 respektive 2 och 3? 2) Vaför, hur, vad fick sig att tänka på att multiplicera, 2(5s) respektive 5(2t) och sätta det lika med, för mig godtyckliga tal, 10z-20? 

Tack på förhand!

Smutstvätt skrev:

De använder sig av likheten de ställt upp (fast de har skrivit fel), alltså att:

$\left(\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{z}\right)\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{s}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{t}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{)}$

Det ger ekvationssystemet:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=-1+2s-t \\ y=3s+t\\ z=2+s+t\end{array}\right.~ \left\{\begin{array}{l}x+1=+2s-t \\ y=3s+t\\ z-2=s+t\end{array}\right. \end{gathered}$$

Härifrån kan systemet lösas för att få [ekvation med x, y, z här] = 0. Sedan har de dividerat båda led med två för att förenkla så långt det går. Ärligt talat, så fort en lärt sig kryssa vektorer (eller överhuvudtaget hitta normalvektorer till en vektor) är det en mycket enklare, och mer intuitiv metod för att ta fram en normalekvation. 

Okej, intressant! Jag skulle vilja lösa det på detta viset till och börja med! Hur ska jag lösa ut x,y,z, tre obekanta, i ett ekvationssystem där 5 variabler ingår med enbart 3 ekvationer? Det är väl inte möjligt? Fast, då det finns ett svar så verkar det vara det, och jag som missförstått något.. 

blygummi skrev:

Albiki skrev:

Hej!

• Från $2s-t=x+1$ och $3s+t=y$ får man att

    $(2s-t)+(3s+t)=(x+1)+y\iff 5s = x+y+1.$

Detta uttrycker parametern $s$ i termer av $x$ och $y$ (och $z$).

• Från $s+t=z-2$ och $3s+t=y$ får man

    $(3s+3t)-(3s+t)=(3z-6)-y\iff 2t=3z-y-6$.

Detta uttrycker parametern $t$ i termer av och $y$ och $z$ (och $x$).

• Sambandet $2(5s)+5(2t)=10z-20$ kan skrivas som ett samband mellan $x$ och $y$ och $z$.

    $2(x+y+1)+5(3z-y-6)=10z-20\iff 2x+2y+15z-5y-10z=-20-2+30\iff 2x-3y+5z=8.$

Hej Albiki tack för det renskrivna svaret! Jag kände att jag förstod hur svaret uppnåddes (manipulationen av operationer) men har har två följdfrågor kring den bakomliggande metodologin; 

1) Hur kom du på att helt ”plötsligt” addera, exempelvis, ekvation 1 och 2 respektive 2 och 3? 2) Vaför, hur, vad fick sig att tänka på att multiplicera, 2(5s) respektive 5(2t) och sätta det lika med, för mig godtyckliga tal, 10z-20? 

Tack på förhand!

1. Syftet är att uttrycka en parameter i taget med hjälp av $x$, $y$ och $z$. 

2. Jag har enkla uttryck för $5s$ och $2t$ och vill använda dessa om möjligt, och jag känner till sambandet $s+t=z-2.$ Minsta gemensam faktor för $5$ och $2$ är talet $10$, så då multiplicerar jag sambandet $s+t=z-2$ med denna faktor vilket ger $10s+10t=10z-20.$ Sedan utnyttjar jag att $10 = 2\cdot 5=5\cdot 2$ och skriver $10s$ som $2(5s)$ och $10t$ som $5(2t)$ och utnyttjar de enkla uttrycken jag har för $5s$ och $2t$.