Från andra derivatan till funktion
Hej!
Jag hade frågan: ''ge exempel på en funktion f för vilken gäller att f'(2)=0 och f''(2)=5''
Det går snabbt att lösa f'(2)=0, men vilka steg måste man ta för att få f''(2)=5? Jag provade fram gånska länge, finns det något smidigt sätt?
Eftersom f''(2) = 5 kan t.ex. inte f(x) vara bara en rät linje, för då skulle f''(x) = 0 överallt. Så, vad kan man tänka sig för hyfsat enkelt "nästa steg" efter en rät linje (räta linjens ekvation blir ett polynom av grad 1)?
Om du känner dig mer bekväm med att "tänka derivata" än att "tänka andraderivata" kan du kanske låta funktionen g(x) = f'(x). Då kan villkoret att f'(2) = 0 skrivas g(2) = 0 och villkoret f''(2) = 5 blir g'(2) = 5. Om du kan hitta någon sådan funktion g kan du sedan använda det och "gå tillbaka" från g till f (dvs. f(x) är primitiv funktion till g(x)).
Till någon hjälp?
Man kan också lösa problemet med hjälp av primitiva funktioner, om du känner till begreppet.
Ytterligare ett tips kan vara att villkoren säger att f har ett lokalt minimum i punkten x = 2. Om du tänker dig att f är en polynomfunktion (av vilken grad?) kan du utnyttja detta för att göra en (korrekt) gissning hur "formeln" för f(x) kan se ut.
statement skrev :Man kan också lösa problemet med hjälp av primitiva funktioner, om du känner till begreppet.
Inte än!
Freewheeling skrev :Ytterligare ett tips kan vara att villkoren säger att f har ett lokalt minimum i punkten x = 2. Om du tänker dig att f är en polynomfunktion (av vilken grad?) kan du utnyttja detta för att göra en (korrekt) gissning hur "formeln" för f(x) kan se ut.
Jag kommer till att det är en tredje grad ekvation med f'2=0, men efter det gissar jag i mörker!
Daja skrev :Freewheeling skrev :Ytterligare ett tips kan vara att villkoren säger att f har ett lokalt minimum i punkten x = 2. Om du tänker dig att f är en polynomfunktion (av vilken grad?) kan du utnyttja detta för att göra en (korrekt) gissning hur "formeln" för f(x) kan se ut.
Jag kommer till att det är en tredje grad ekvation med f'2=0, men efter det gissar jag i mörker!
Kan det kanske räcka med andragradspolynom? Testa med t.ex. , räkna fram f'(x) och f''(x) och använd det du känner till om f'(2) och f''(2) i dina framräknade uttryck. Vad ger det dig för villkor för a och b (och c)?
dobedidoo skrev :Daja skrev :Freewheeling skrev :Ytterligare ett tips kan vara att villkoren säger att f har ett lokalt minimum i punkten x = 2. Om du tänker dig att f är en polynomfunktion (av vilken grad?) kan du utnyttja detta för att göra en (korrekt) gissning hur "formeln" för f(x) kan se ut.
Jag kommer till att det är en tredje grad ekvation med f'2=0, men efter det gissar jag i mörker!
Kan det kanske räcka med andragradspolynom? Testa med t.ex. , räkna fram f'(x) och f''(x) och använd det du känner till om f'(2) och f''(2) i dina framräknade uttryck. Vad ger det dig för villkor för a och b (och c)?
Med ax^2+bx+c har vi nu f'(x)=2ax+b och f''(x)=2a.
Det verkar inte fungera om jag måste ha f''(x)=2; eftersom x försvinner?
Nej din ekvation ska vara f''(2) = 5
Lös den så kan du bestämma värdet på konstanten a.
Sätt sedan in värdet på a i uttrycket för f'(x) och lös ekvationen f'(2) = 0 för att bestämma värdet på konstanten b.
Yngve skrev :Nej din ekvation ska vara f''(2) = 5
Lös den så kan du bestämma värdet på konstanten a.
Sätt sedan in värdet på a i uttrycket för f'(x) och lös ekvationen f'(2) = 0 för att bestämma värdet på konstanten b.
Så du menar f''(2)=5, a kan vara lika med 5?
Nästa steg blir f'(2)=0 till ex f'(x)=5x-10.
Men nästa då?
Om jag skriver höjer 5x till kvadrat funkar det inte.
Så du menar f''(2)=5, a kan vara lika med 5?
Nej det menar jag inte.
Du har tagit fram ett uttryck för f''(x), nämligen f''(x) = 2a
Att f''(x) = 2a betyder att f''(x) har värdet 2a, oavsett vilket värde x har. Det betyder alltså att f''(2) = 2a.
Men du vet även att f''(2) ska vara lika med 5.
Det betyder ju att 2a = 5.
Hänger du med?
Yngve skrev :Så du menar f''(2)=5, a kan vara lika med 5?
Nej det menar jag inte.
Du har tagit fram ett uttryck för f''(x), nämligen f''(x) = 2a
Att f''(x) = 2a betyder att f''(x) har värdet 2a, oavsett vilket värde x har. Det betyder alltså att f''(2) = 2a.
Men du vet även att f''(2) ska vara lika med 5.
Det betyder ju att 2a = 5.
Hänger du med?
Hmmm något med 2.5 har jag provat också. Tror jag. Men det blir samma sak, jag kommer inte fram f(x)
f''(2)=2.5*x
f'(x)=2.5*x^2-5
f(x)=.... vet inte.
Hmmm något med 2.5 har jag provat också. Tror jag. Men det blir samma sak, jag kommer inte fram f(x)
f''(2)=2.5*x
f'(x)=2.5*x^2-5
f(x)=.... vet inte.
Nej, nu blandar du ihop det.
f''(2) = 5 och f''(2) = 2a ger dig ekvationen 2a = 5, vilket ger att a = 2,5.
Eftersom f'(x) = 2ax + b så får du, med a = 2,5, att f'(x) = 2*2,5*x + b = 5x + b.
Nu har du ju ytterligare ett villkor f'(2) = 0 vilket på samma sätt hjälper dig att bestämma värdet på konstanten b.
Om f'(x) = 5x + b, hur ser då uttrycket för f'(2) ut?
Yngve skrev :Hmmm något med 2.5 har jag provat också. Tror jag. Men det blir samma sak, jag kommer inte fram f(x)
f''(2)=2.5*x
f'(x)=2.5*x^2-5
f(x)=.... vet inte.
Nej, nu blandar du ihop det.
f''(2) = 5 och f''(2) = 2a ger dig ekvationen 2a = 5, vilket ger att a = 2,5.
Eftersom f'(x) = 2ax + b så får du, med a = 2,5, att f'(x) = 2*2,5*x + b = 5x + b.
Nu har du ju ytterligare ett villkor f'(2) = 0 vilket på samma sätt hjälper dig att bestämma värdet på konstanten b.
Om f'(x) = 5x + b, hur ser då uttrycket för f'(2) ut?
God morgon!
om f'(x)=5x+b, med vilkor att f'(2)=0 har vi b=-10
Skulle det funka att ''escalera'' det så?
2.5x^2-10x+godtyckliga konstant?
Daja skrev :
God morgon!
om f'(x)=5x+b, med vilkor att f'(2)=0 har vi b=-10
Skulle det funka att ''escalera'' det så?
2.5x^2-10x+godtyckliga konstant?
Pröva!
Du har kommit fram till att
f(x) = 2,5x^2 - 10x + C, där C är en godtycklig konstant.
Då är
f'(x) = 5x - 10 och
f''(x) = 5
Då får vi att
f'(2) = 5*2 - 10 = 0. Stämmer!
f''(2) = 5. Stämmer!
Eftersom du ska ge ett exempel på en funktion f som uppfyller villkoret ska du även välja ett C. Eftersom C är godtycklig kan du välja enkelt,t.ex. C = 0.
Hmmm tycker att det är lite komplicerat fortfarande. Skulle du ha nånstans en eller två övningar till som jag kan träna på?
Daja skrev :Hmmm tycker att det är lite komplicerat fortfarande. Skulle du ha nånstans en eller två övningar till som jag kan träna på?
OK ta den här:
Ge exempel på en funktion f(x) som har följande egenskaper:
f(0) = 8
f'(0) = 4
f''(0) = -4
Tack Yngve!
Så här blir det (hoppas jag)
Har du kollat om det stämmer?
(du har råkat skriva fel här, men det påverkar inte ditt svar:
Om f'(0)=4 har vi 2*−2*x+b=4, −4*0+b=4, och b=4
Det ska stå
Om f'(0)=4 har vi 2*−2*0+b=4, −4*0+b=4, och b=4)
Jag har kollat! Ska kolla igen! Stämmer det inte?
Jo det stämmer. Ville bara kolla att du visste hur du skulle kolla! :-)
Yngve skrev :Jo det stämmer. Ville bara kolla att du visste hur du skulle kolla! :-)
Haha jag blev orolig, började att rota efter felet som en hund :)
Tack för hjälpen!
