Frågeställning involverandes naturliga logaritmer

Frågan lyder: Finn alla x ≤ 0 sådana att ln(1 + e^x) − ln(1 − e^x) ≤ ln(1 + 4e^x).

Det första jag har problem med är att jag inte riktigt förstår vad det är de frågar efter när de skriver "Finn alla x ≤ 0". Menar de då alla värden på x som är större eller lika med x?

Sen till själva frågan. Jag har försökt att skriva om VL (Vänsterled) till en term som då blir ln((1 + e^x) / (1 − e^x)) och sedan ta e^HL och e^VL för att få (1 + e^x) / (1 − e^x ≤ (1 + 4e^x). Sen har jag flyttat över termerna till samma led så 0 ≤ 2e^x-4e^2x och sen förenklat till 0 ≤ e^x(1-e^3x). Detta har gett mig två svar där 0 ≤ e^x och 0 ≤ 1-e^3x. Detta har gett mig svaren x ≤ 0, x ≥ 1. Detta känns inte som ett rätt svar på frågan (som jag delvis inte riktigt förstår vad det är de frågar efter). Har jag tänkt fel?

Nej. De menar att du skall finna alla negativa tal (eller noll) som uppfyller olikheten.

Dina första tankar av att höja upp leden som exponenter av $e$ är korrekta, men sen gör du något konstigt. Du verkar blanda ihop ekvationer och olikheter och använda nollproduktmetoden på en olikhet. Nollproduktmetoden fungerar inte på en olikhet!

EDIT: Dessutom ser din förenkling ut att vara felaktig.

Välkommen till Pluggakuten!

Olikheten $x\leq 0$ betyder " $x$ mindre än eller lika med noll" det vill säga att symbolen $x$ betecknar ett tal som kan vara negativt (som $-3.14$ ) eller ett tal som är noll.

Det verkar som att du har angripit problemet på rätt sätt.

För att undvika problematiken med att eventuellt dividera med talet noll (då $1-e^{x}=0$ ) kan man skriva olikheten som

$\ln(1+e^{x}) \leq \ln(1+4e^{x})+\ln(1-e^{x}) \iff \ln(1+e^{x})\leq \ln(1+4e^{x})(1-e^{x}).$

Som du har noterat kan är detta samma sak som olikheten

$(1+e^{x})\leq (1+4e^{x})(1-e^{x}) \iff 1+e^{x} \leq 1-e^{x}+4e^{x}-4(e^{x})^2\iff 0\leq 2e^{x}-4(e^{x})^2.$

Uttrycket $2e^{x}-4(e^{x})^2$ kan skrivas $2e^{x}\cdot(1-2e^{x})$ , så att olikheten blir

$0 \leq 2e^{x}(1-2e^{x}).$

Faktorn $2e^{x}$ är alltid positiv, så för att produkten $2e^{x}\cdot(1-2e^{x})$ ska vara positiv (eller noll) måste det gälla att

$1-2e^{x} \geq 0\iff e^{x}\leq 1/2 \iff x\leq -\ln 2.$

Albiki skrev:
Välkommen till Pluggakuten!
Olikheten $x\leq 0$ betyder " $x$ mindre än eller lika med noll" det vill säga att symbolen $x$ betecknar ett tal som kan vara negativt (som $-3.14$ ) eller ett tal som är noll.
Det verkar som att du har angripit problemet på rätt sätt.
För att undvika problematiken med att eventuellt dividera med talet noll (då $1-e^{x}=0$ ) kan man skriva olikheten som
$\ln(1+e^{x}) \leq \ln(1+4e^{x})+\ln(1-e^{x}) \iff \ln(1+e^{x})\leq \ln(1+4e^{x})(1-e^{x}).$
Som du har noterat kan är detta samma sak som olikheten
$(1+e^{x})\leq (1+4e^{x})(1-e^{x}) \iff 1+e^{x} \leq 1-e^{x}+4e^{x}-4(e^{x})^2\iff 0\leq 2e^{x}-4(e^{x})^2.$
Uttrycket $2e^{x}-4(e^{x})^2$ kan skrivas $2e^{x}\cdot(1-2e^{x})$ , så att olikheten blir
$0 \leq 2e^{x}(1-2e^{x}).$
Faktorn $2e^{x}$ är alltid positiv, så för att produkten $2e^{x}\cdot(1-2e^{x})$ ska vara positiv (eller noll) måste det gälla att
$1-2e^{x} \geq 0\iff e^{x}\leq 1/2 \iff x\leq -\ln 2.$

Tack för det detaljerade svaret, Albiki! Jag tänkte nog lite fel vid frågan men nu blev det mer klart. Det jag dock inte riktigt kopplar är när du skriver "För att undvika problematiken med att eventuellt dividera med talet noll (då 1−e^x=0)". Vid vilket lösningsalternativ skulle jag behöva dela med 0?

När du skriver

$\ln (\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}})$ .

HAlbiki skrev:
När du skriver
$\ln (\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}})$ .

Jaha nu fattar jag! Tack så mycket!

Svara

Visa senaste svar