Fråga om samband mellan derivata och primitiva funktioner

Ja, det gäller.

Du kan med hjälp av derivatans h-definition visa att F'(x) = G'(x)-H'(x) och på samma sätt visa att f'(x) = g'(x)-h'(x).

Nja, det gäller med modifikation. Man behöver se upp när man pratar om likheten av primitiva funktioner eftersom primitiver inte är entydigt givna. Man kan alltid lägga till en konstant term och på så sätt ha en annan primitiv.

Påståendet om derivator:

Om $f(x) = g(x) - h(x)$, så gäller att $f^\prime(x) = g^\prime(x) - h^\prime(x)$. Detta följer direkt från räknelagarna för derivatan som i sin tur följer från derivatans definition:

$f^'\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow0}\frac{f(x+k)-f(x)}k\\=\lim_{k\rightarrow0}\frac{\lbrack g(x+k)-h(x+k)\rbrack-\lbrack g(x)-h(x)\rbrack}k\\=\lim_{k\rightarrow0}\frac{\lbrack g(x+k)-g(x)\rbrack-\lbrack h(x+k)-h(x)\rbrack}k\\=\lim_{k\rightarrow0}(\frac{g(x+k)-g(x)}k-\frac{h(x+k)-h(x)}k)\\=g^'\left(x\right)-h^'\left(x\right)$

Påståendet om antiderivator:

Här är ett motexempel som visar att $F(x) = G(x)-H(x)$ inte behöver stämma:

• $f(x) = 2x$ med $F(x) = x^2 + 1$
• $g(x) = 6x$ med $G(x) = 3x^2 + 2$
• $h(x) = 4x$ med $H(x) = 2x^2 + 3$

Med dessa funktioner och primitiver, så gäller att $f(x) = g(x) - h(x)$. Däremot är $F(x) \neq G(x) - H(x)$, utan $F(x) = G(x)-H(x) + 2$.

Modifierat påstående om antiderivator:

Om $f(x) = g(x) - h(x)$, så gäller att $F(x) = G(x) - H(x) + c$, där $c$ är ett reellt tal (alltså en konstant). Värdet på $c$ beror på vilka exakta primitiva funktioner $F$, $G$ och $H$ som man tagit fram.

Motivering: Enligt deriveringsreglerna gäller att

$(F(x) - [G(x) - H(x)])^\prime = F^\prime(x) - [G^\prime(x) - H^\prime(x)]=f(x) - [g(x)-h(x)] = 0.$

Därför är uttrycket $F(x) - [G(x) - H(x)]$ konstant, men man vet inte vilken konstant det är.

LuMa07 skrev:

Nja, det gäller med modifikation. Man behöver se upp när man pratar om likheten av primitiva funktioner eftersom primitiver inte är entydigt givna. Man kan alltid lägga till en konstant term och på så sätt ha en annan primitiv.

[...]

Ja, det stämmer. Jag missade att "primitiva funktionen" stod i bestämd form och tolkade felaktigt frågan som att F, G och H är de primitiva funktionerna till f, g och h, dvs att integrationskonstanterna fanns med i uttrycken för F, G och H.