Frågeställning som involverar mängder och räknelagar för mängder

Bevisa med hjälp av räknelagarna för mängder: För alla A, B, D ⊆ U,

((B^c ∪ D^c) ∩ (D ∪ B^c)) ∩ (B ∪ D ∪ A^c) = (A ∪ B)^c ∪ (D \ B).

Mitt försök:

VL = ((B ∩ D)^c ∩ (D^c ∩ B)^c) ∩ (B ∪ D ∪ A^c) (De Morgans lag)

VL = ((B ∩ D) ∪ (D^c ∩ B)^c) ∩ (B ∪ D ∪ A^c) (De Morgans lag)

VL = ((B ∩ D ∪ D^c) ∪ (B ∩ D ∪ B)^c) ∩ (B ∪ D ∪ A^c) (Distributiva lagen)

Här fastnar jag. Är inte helt 100 på hur jag ska ta mig vidare.

Jag skulle nog vilja stanna vid rad ett till två. Titta på uttrycket $(B^{C} \cup D^{C}) \cap (D \cup B^{C})$ . Vad kan finnas i både D och D^C? Vad kan finnas i både B^C och B^C? Den delen av uttrycket kan förenklas en hel del. Vilket uttryck får du kvar?

pepparkvarn skrev:
Jag skulle nog vilja stanna vid rad ett till två. Titta på uttrycket $(B^{C} \cup D^{C}) \cap (D \cup B^{C})$ . Vad kan finnas i både D och D^C? Vad kan finnas i både B^C och B^C? Den delen av uttrycket kan förenklas en hel del. Vilket uttryck får du kvar?

I D och D^Cligger väl en tom mängd. I B^C och B^C ligger väl B^c. Är jag på rätt tankebana? Har lite svårt med just mängder.

Helt rätt! Inget kan vara i både D och D-komplement samtidigt, och allt i B^C ligger samtidigt i B^C. Då har du alltså kvar uttrycket:

$B^{C} \cap (B \cup D \cup A^{C})$

i vänsterled. Kan du använda någon räknelag för att fortsätta förenklingen av uttrycket?

pepparkvarn skrev:
Helt rätt! Inget kan vara i både D och D-komplement samtidigt, och allt i B^C ligger samtidigt i B^C. Då har du alltså kvar uttrycket:
$B^{C} \cap (B \cup D \cup A^{C})$
i vänsterled. Kan du använda någon räknelag för att fortsätta förenklingen av uttrycket?

Okej jag tror att jag börjar komma fram till något. Men hur kunde vi få de två B komplementerna och D mängderna bredvid varandra när de separeras av ∩ tecknet? Så jag skulle då kunna använda distributiva lagen för att få uttrycket

(B^C∩(B∪D)) ∪ (B^c∪A^C)

i vänsterled och sen använda distributiva lagen och De Morgans lag för att få (B^C∩(B∪D)) ∪ (B^c∪AC) = (B^c∩B) (B^c∩D) ∪ (A∪B)^c vilket, då (B^c∩B) är en tom mängd, (D \ B^c) ∪ (A∪B)^c= HL. Tänker jag rätt här? Och sen undrar varför vi får ta bort den tomma mängden från ekvationen? Är det för att den inte innehåller några värden så då behöver man inte räkna med den?

Hur använder du distributiva lagen? Du kan använda den för att skriva $(B^C\cap B)\cup(B^C \cap D)\cup(B^C \cap A^C)$ .

pepparkvarn skrev:
Hur använder du distributiva lagen? Du kan använda den för att skriva $(B^C\cap B)\cup(B^C \cap D)\cup(B^C \cap A^C)$ .

Jaha ok nu fattar jag. Tror att jag använde distributiva lagen för många gånder men att jag ändå fick rätt svar. Din metod är dock mer effektivt och förståerlig. Tack för hjälpen!

Sådant händer ibland, ingen fara! Grymt, varsågod!

Svara

Visa senaste svar