Fråga om linjära avbildningar och matriser med exempel

Så jag kan representera $u$ som en vektor $u =\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]$ och sedan använda matriserna $A$ och $B$ för att skapa den sammansatta avbildningen.Först beräknar jag avbildningen av u med matrisen $A$:

$A u =\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}x \\x+y\end{array}\right]= v$

Samt

$B( v )=B\left(\left[\begin{array}{c} x \\ x+y \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ x+y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} x+2(x+y) \\ x+y \end{array}\right]$

$={\left[\begin{array}{c}3 x+2 y \\x+y\end{array}\right]=B(A u )}$

Så den sammansatta avbildningen är $B(A\mathbf{u})=\begin{bmatrix}3x+2y \\x+y\end{bmatrix}$, eller vad tycker ni?
 

Två synpunkter.

1) Varför blev B helt plötsligt en annan matris?

2) Om du inte vill ansätta en vektor kan du använda att matrismultiplikation är associativ

$B(A\mathbf{u})=(BA)\mathbf{u}$

Den sammansatta avbildningsmatrisen ges alltså av $BA$. Notera också att i regel är $BA\neq AB$ vilket betyder att det spelar roll i vilken ordning man utför avbildningarna.

D4NIEL skrev:

Två synpunkter.

1) Varför blev B helt plötsligt en annan matris?

2) Om du inte vill ansätta en vektor kan du använda att matrismultiplikation är associativ

$B(A\mathbf{u})=(BA)\mathbf{u}$

Den sammansatta avbildningsmatrisen ges alltså av $BA$. Notera också att i regel är $BA\neq AB$ vilket betyder att det spelar roll i vilken ordning man utför avbildningarna.

1) Du har rätt, jag skrev in fel matris för B. Det skulle ha varit samma som i uppgiften, alltså:

$B=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right]$

2) Det stämmer att matrismultiplikation är associativ, så man kan skriva som du säger om den sammansatta avbildningen som $(BA)\mathbf{u}$. BA underlättar beräkningarna eftersom man då kan räkna ut produkten av $BA$ en gång, och sedan använda den för att avbilda alla vektorer $\mathbf{u}$, eller?

Och jag har noterat att ordningen i vilken avbildningarna utförs kan vara avgörande.

Är detta korrekt?

3) 

$B=\left[ \begin{array}{cc}0&1\\ -1&0\end{array} \right] ,\ A=\begin{bmatrix}1&0\\ 1&1\end{bmatrix} ,\ BA=\begin{bmatrix}1&1\\ -1&0\end{bmatrix}$

$B\left( A\mathbf{u}\right) =\begin{bmatrix}0&1\\ -1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ x+y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x+y\\ -x\end{bmatrix}$

eller

$B\left( A\mathbf{u} \right) =BA\left( \mathbf{u} \right) =\begin{bmatrix}1&1\\ -1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+y\\ -x\end{bmatrix}$

Ja, det stämmer. Nu vill de alltså att du ska studera var bassvektorerna hamnar, dvs

$BA\mathbf{e_x}=\begin{bmatrix}1 & 1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$

$BA\mathbf{e_y}=\begin{bmatrix}1 & 1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

D4NIEL skrev:

Ja, det stämmer. Nu vill de alltså att du ska studera var bassvektorerna hamnar, dvs

$BA\mathbf{e_x}=\begin{bmatrix}1 & 1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$

$BA\mathbf{e_y}=\begin{bmatrix}1 & 1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

$BA\mathbf{e_{x}} =\begin{bmatrix}1&1\\ -1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1\\ -1\end{bmatrix}$

$BA\mathbf{e_{y}} =\begin{bmatrix}1&1\\ -1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}$

Figuren illustrerar den sammansatta avbildningen för basvektorerna $\mathbf{e_x}$ och $\mathbf{e_y}$ under linjär transformation $BA$. Blåa pilar representerar avbildningen av respektive basvektor. Röda streckade linjer visar var respektive avbildning hamnar i förhållande till ursprungspunkten.

Vad tycker du?

Enligt Wolfram Alpha motsvarar det samma som min ritning:

Om du undrar om du räknat rätt kan du alltid kontrollera med Wolfram Alpha, så här:

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7B%7B0%2C+1%7D%2C+%7B-1%2C+0%7D%7D+.+%7B%7B1%2C+0%7D%2C+%7B1%2C+1%7D%7D+.+%7B1%2C+0%7D