Fråga om induktionsbevis av olikhet

Hej! Jag går igenom mattecentrums snabbkurs i matte 5.

Jag har fastnat på ett av stegen i induktionsbeviset att n^2 < 2^n för n>=5.

(m+1)^2 < 2^(m+1),

m^2 + 2m + 1 < 2^1*2^m

Men sedan substitueras m^2 för 2^m för att få:

m^2 + 2m + 1 < 2*m^2.

Min fråga är vilket resonemang som gäller här, att man kan sätta in något som är mindre i HL, och olikheten/ beviset fortfarande gäller. Det hade varit lätt att förstå om man satte in en likhet.

Hoppas min fråga var tydlig!

Mvh,

Daniel

Är det här något som någon annan skrivit och som du försöker förstå eller är det ett försök till en lösning som du har gjort och du försöker förstå om du har gjort rätt? (Om det är det senare, dvs någon annans bevis, kan du hellre länka till källan)

Såsom det är återgivet just nu så är det i mina ögon inte ett giltigt, eller i alla fall inte ett fullständigt, bevis.

Välkommen till Pluggakuten!

Steg 1: Visa att olikheten stämmer när $n=5$ . Eftersom $25 < 32$ så är olikheten sann när $n=5$ .

Steg 2: Anta att olikheten stämmer för ett visst positivt heltal $n$ som är större än eller lika med 5. (Du vet från Steg 1 att det finns åtminstone ett sådant positivt heltal.)

Steg 3: Visa att olikheten stämmer för nästa positiva heltal, det vill säga olikheten stämmer för $n+1$ .

Steg 4: Enligt Induktionsaxiomet stämmer olikheten för alla positiva heltal som är större än $5$ .

Albiki

Ja det är ett färdigt som jag läser och försöker förstå.

Länk till pdf

Det börjar längst ner på sidan 19, fortsätter på sid 20 "bevisa olikheter"

Hej!

Om du kan visa att $2n+1 < 2^{n}$ när $n>5$ så är problemet löst.

Albiki

Då är jag med. Tack så mycket för hjälpen :)

Är det rätt att säga såhär:

Man ska bevisa att a < b. Men genom att istället bevisa att a < c, ( där c < b,) visar man att a < b.

Om du kan visa att a < c och du vet att det gäller att c < b så följer det från det att a < b.

Svara

Visa senaste svar