Fråga om induktionsbevis

Hej! Jag vet hur man gör induktionsbevis men förstår inte riktigt denna uppgiften. All hjälp uppskattas! : )

Hur har du börjat?

Du ska visa att antagandet stämmer för basfallet n = 1.

Sedan visa att om antagandet är sant för n = p, så är det även sant för n = p + 1.

"För alla n≥1, bevisa med hjälp av induktion att \sum_{k=1}^n (3k^2+k) = n(n+1)^2."

Såhär har jag tänkt, någon får gärna säga till om det är fel!

Basfallet ( $n = 1$ ):

$\sum_{k=1}^1 (3k^2 + k) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4$

och

$1(1+1)^2 = 1(2)^2 = 4$

Så basfallet stämmer.

Induktionssteg ( $n = p \Rightarrow n = p + 1$ ):

Antag att

$\sum_{k=1}^p (3k^2 + k) = p(p+1)^2$

Vi vill visa att då är det sant att

$\sum_{k=1}^{p+1} (3k^2 + k) = (p+1)(p+2)^2$

Härifrån blev jag osäker hehe.

Visa spoiler

Vi börjar med den vänstra sidan:

$\sum_{k=1}^{p+1} (3k^2 + k) = \sum_{k=1}^{p} (3k^2 + k) + (3(p+1)^2 + (p+1))$

Då vi har antagit att

$\sum_{k=1}^p (3k^2 + k) = p(p+1)^2$

Så

$\sum_{k=1}^{p+1} (3k^2 + k) = p(p+1)^2 + (3(p+1)^2 + (p+1))$

Och

$\sum_{k=1}^{p+1} (3k^2 + k) = p(p+1)^2 + 3(p+1)^2 + p + 1$

$\sum_{k=1}^{p+1} (3k^2 + k) = (p+3(p+1))(p+1)^2 + p + 1$

$\sum_{k=1}^{p+1} (3k^2 + k) = (p+3p+3)(p+1)^2 + p + 1$

$\sum_{k=1}^{p+1} (3k^2 + k) = (6p+3)(p+1)^2 + p + 1$

$\sum_{k=1}^{p+1} (3k^2 + k) = (p+1)(6p+3)(p+1) + p + 1$

$\sum_{k=1}^{p+1} (3k^2 + k) = (p+1)((p+1)(6p+3) + 1)$

$\sum_{k=1}^{p+1} (3k^2 + k) = (p+1)((p+1)(6p+3) + 1) = (p+1)(p+2)^2$

Så antagandet stämmer för $n = p + 1$ .

Dela upp summan t v i dels från 1 till p (som du redan känner via ind.ant) och den sista termen för sig. Förenkla och se vad du får.

Tack för hjälpen! Nu förstår jag! : )

Svara

Visa senaste svar