Fråga om Euklides bevis för primtalens oändlighet
Hej Pluggakuten!
Jag läser Euklides vackra bevis för primtalens oändlighet (alltså, vilken enormt imponerande person denna Euklides var!).
Något som jag hakar upp mig lite på är denna delen i hans bevis:
Är detta steg något som man kan, eller bör, bevisa? Eller är det så pass självklart att det inte behövs? Jag gissar att det kanske bara är jag som har bristande förståelse/intuition för området...! :)
DF är "unit", alltså lika med 1.
Man kan inte dela 1 med G.
Jag har svårt att begripa din bok. Svenska Wikipedia beskriver Euklides sats mycket enklare, tycker jag.
Förlåt, ser nu att jag var otydlig!
Det jag hakar upp mig på är att primtalet G då även måste dela återstoden DF (oavsett vad återstoden är). Är detta något som kan eller bör bevisas? Lite såsom Euklides hänvisar till sats VII 31 några stycken ovanför. Eller är det så pass självklart att man faktiskt inte behöver bevisa denna slutledning?
Jag har en viss förkärlek för Euklides och hans verk, så jag vill gärna förstå vissa av hans bevis såsom han ursprungligen formulerade dom! :D
Det bör väl absolut bevisas, rimligtvis har Euklides redan bevisat det.
Påståendet är alltså att om d|a+b och d|a så d|b.
Om EF inte är ett primtal, så är EF något tal gånger ett primtal. [VII. 31 ]
Vi säger att EF är något tal gånger G, där G är ett primtal. Kan då G vara något av talen A, B eller C?
Ifall G är lika med något av talen A, B eller C så måste G dela DE, för det är ju så vi har skapat DE.
Dessutom - eftersom G delar hela EF - så måste G dela DF. (denna rad blåmarkerad)
Exempel: Om DE är 105 (produkten 3*5*7) och vi lägger till DF 14, så får vi EF 119. EF är då delbart med 7, så G skulle kunna vara 7 och DF råkar vara delbart med 7.
Exempel 2: Vi kan välja något annat DF, t.ex. 1 eller 13, så att G inte kan vara något av talen 3, 5 eller 7.
Det engelska ordet "unit" betyder nog inte "storlek 1" här, utan snarare "vilket mått som helst".
Bubo skrev:Om EF inte är ett primtal, så är EF något tal gånger ett primtal. [VII. 31 ]
Vi säger att EF är något tal gånger G, där G är ett primtal. Kan då G vara något av talen A, B eller C?
Ifall G är lika med något av talen A, B eller C så måste G dela DE, för det är ju så vi har skapat DE.
Dessutom - eftersom G delar hela EF - så måste G dela DF. (denna rad blåmarkerad)
Exempel: Om DE är 105 (produkten 3*5*7) och vi lägger till DF 14, så får vi EF 119. EF är då delbart med 7, så G skulle kunna vara 7 och DF råkar vara delbart med 7.
Exempel 2: Vi kan välja något annat DF, t.ex. 1 eller 13, så att G inte kan vara något av talen 3, 5 eller 7.
Det engelska ordet "unit" betyder nog inte "storlek 1" här, utan snarare "vilket mått som helst".
Nä det betyder nog verkligen 1 här, det är det som är det absurda, att ett primtal skulle dela 1.
Smutsmunnen skrev:Det bör väl absolut bevisas, rimligtvis har Euklides redan bevisat det.
Påståendet är alltså att om d|a+b och d|a så d|b.
Tack för svaret! Skönt att höra att det steget bör motiveras/bevisas, då var jag inte helt fel ute trots allt. :)
Euklides refererar inte till något sådant bevis längst ut i marginalen för den raden, såsom han brukar göra, men det är möjligt att han har bevisat detta tidigare i boken ändå! Jag ska kika igenom det snabbt och se om jag hittar en sådan sats!
Smutsmunnen skrev:Bubo skrev:Om EF inte är ett primtal, så är EF något tal gånger ett primtal. [VII. 31 ]
Vi säger att EF är något tal gånger G, där G är ett primtal. Kan då G vara något av talen A, B eller C?
Ifall G är lika med något av talen A, B eller C så måste G dela DE, för det är ju så vi har skapat DE.
Dessutom - eftersom G delar hela EF - så måste G dela DF. (denna rad blåmarkerad)
Exempel: Om DE är 105 (produkten 3*5*7) och vi lägger till DF 14, så får vi EF 119. EF är då delbart med 7, så G skulle kunna vara 7 och DF råkar vara delbart med 7.
Exempel 2: Vi kan välja något annat DF, t.ex. 1 eller 13, så att G inte kan vara något av talen 3, 5 eller 7.
Det engelska ordet "unit" betyder nog inte "storlek 1" här, utan snarare "vilket mått som helst".
Nä det betyder nog verkligen 1 här, det är det som är det absurda, att ett primtal skulle dela 1.
För att citera mannen, myten, legenden:
"An unit is that by virtue of which each of the things that exist is called one"
Intressant nog följs det av denna definition:
"A number is a multitude composed of units".
Så han avser en etta, men definierar samtidigt inte en etta som ett tal! :)
