Vad betyder det man skriver under tecknet för summa..

Tror tecknet för summa heter sigma? Eller bara summa räcker, iofs.

Men Sigma med ett n ovanför sig, och sedan i= 1 under sig sen f(xi) * ∆X för oändligt antal rektanglar i ett givet intervall.

Vad står i för här? Jag ser att dom kallar X för X1 och X2 etc i exemplet här, men ∆X är oändligt så.. är det bara någon sorts benämning på vad vi ska kalla varje steg i X? Typ? Fattar inte.

När skulle något annat än 1 vara rimligt som steg här i och med att vi kollar n antal rektanglar. Kan inte i=n då?

$i$ funkar som räknarvariabel i summan.

I summan $\sum_{i=1}^n a_i$ , så adderar man ihop termer $a_i$ , där man sätter in i=1 och därefter i=2 och därefter i=3 och därefter... upp till i=n. Värdet på i går alltså fr.o.m. 1 t.o.m. n.

I definitionen av riemannintegralen arbetar man med ändliga summor, så $\Delta x$ är inte oändligt (och inte heller oändligt litet) och antalet rektanglar är också ändligt.

$\sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + \cdots + f(x_n) \Delta x$

Förstår nästan. Hade jag läst nogrannare i boken hade jag sett som du säger, att det är ändligt. Integral tecknet istället representerar oändligt många intervall (?).

Men om man har riemannintegral i intervallet 1-9, och i= 1, blir ∆x också = 1 & n = 9?

Och om intervallet är 1-9 med i=0.5, blir ∆x=0.5? Och därav blir n = 18?

$\Delta x$ representerar bredden av varje stapel/rektangel, medan $i$ representerar bara numrering av punkterna i intervallet (respektive numrering av staplarna/rektanglarna).

Om intervallet är $1 \le x \le 9$ och $\Delta x = 1$ , så bildar man 8 st rektanglar med bredden $1$ . Rektanglarna är numrerade:

i=1 motsvarar rektangeln längst till vänster
i=2 är rektangeln bredvid
...
i=8 är rektangeln längst till höger

I varje rektangel väljer man någon punkt. Man har alltså 8 st. punkter. Punkten $x_1$ ligger i intervallet som motsvarar den första rektangeln, punkten $x_2$ den andra rektangeln o.s.v., så $x_8$ den sista rektangeln.

Om $\Delta x = 0.5$ , så bildar man 16 stycken rektanglar. Dessa är då numrerade fr.o.m. i=1 (längst till vänster) t.o.m. i=16 (längst till höger).

Ja, precis. Tror jag är med :)

Tack för ditt svar.

Vilken simpel idé det här är egentligen. Ändå har det tagit extremt många år att utveckla. Även om då själva grunden för metoderna lades väldigt tidigt, Archimedes tror jag? Ja, vad man känner till i varje fall.

Utveckling tar lång tid. Förutom i modern tid nu då, verkar ha tagit en helt annan fart nu. Eskalerar. Eller så verkar det bara så, svårt att ens definiera.. vad ska man säga, grad av utveckling.

Vilken simpel idé det här är egentligen.

Bra observation! Riemannintegralen som objekt har faktiskt ganska stora begränsningar. Exempelvis finns det funktioner man gärna skulle vilja kunna integrera (t.ex. Dirichlets funktion) som inte är integrerbara enligt Riemanns definition. För att lösa detta problem finns det ett mycket kraftfullare (och komplexare) objekt som kallas för Lebesgueintegralen. Med detta objekt kan man integrera funktioner som bl.a. har oändligt många diskontinuiteter.

Okej.

Tar tag i det senare om intresset håller i sig 👍

Svara

Visa senaste svar