Fråga kring triangeluppgift
I den likbenta triangeln ∆ABC är AB = AC. Dess omskrivna cirkel har medelpunkt M , som ligger inuti triangeln. Visa att följande påståenden är ekvivalenta.
P1 : Triangeln ∆ABC är liksidig.
P2 : Radien M B är en bisektris till vinkeln B.
P3 : Vinkeln BM C är 120◦.
Min fråga gäller snarare uppgiftstolkningen än hur den löses. När det skrivs "visa att följande påståenden är ekvivalenta" innebär det att jag kan börja med vilket av påståendena som helst? Och jag ska inte bevisa varje påstående för sig utan bara att "det ena påståendet leder till det andra"?
swaggerdabber44 skrev:Min fråga gäller snarare uppgiftstolkningen än hur den löses. När det skrivs "visa att följande påståenden är ekvivalenta" innebär det att jag kan börja med vilket av påståendena som helst? Och jag ska inte bevisa varje påstående för sig utan bara att "det ena påståendet leder till det andra"?
Och att "det andra påståendet leder till det ena" också.
Vilket om man har tur med uppgiften kan bevisas i ett svep, typ "P1 är ekvivalent med [ett påstående] som är ekvivalent med [annat påstående] som är ekvivalent med P2" istället för "P1 leder till [ett påstående] som leder till [annat påstående] som leder till P2" där man istället skulle bli tvungen att även bevisa att P2 även leder till P1.
Du kan inte bevisa något av påståendena, inget av dem följer av förutsättningarna.
Att påståendena är ekvivalenta kan formuleras som att för varje triangel som uppfyller de inledande villkoren gäller att antingen all tre är sanna eller att alla tre är falska.
Det är ganska lätt att se att P1 medför P2 och P3 sen återstår det att visa att P2 medför P1 och att P3 medför P1.
farfarMats skrev:Du kan inte bevisa något av påståendena, inget av dem följer av förutsättningarna.
Att påståendena är ekvivalenta kan formuleras som att för varje triangel som uppfyller de inledande villkoren gäller att antingen all tre är sanna eller att alla tre är falska.
Det är ganska lätt att se att P1 medför P2 och P3 sen återstår det att visa att P2 medför P1 och att P3 medför P1.
Så får jag från början utgå från att ett av påståendena är sanna? Eller bara att triangeln är liksidig?
Hur löser man uppgiften?
Bedinsis skrev:swaggerdabber44 skrev:Min fråga gäller snarare uppgiftstolkningen än hur den löses. När det skrivs "visa att följande påståenden är ekvivalenta" innebär det att jag kan börja med vilket av påståendena som helst? Och jag ska inte bevisa varje påstående för sig utan bara att "det ena påståendet leder till det andra"?
Och att "det andra påståendet leder till det ena" också.
Vilket om man har tur med uppgiften kan bevisas i ett svep, typ "P1 är ekvivalent med [ett påstående] som är ekvivalent med [annat påstående] som är ekvivalent med P2" istället för "P1 leder till [ett påstående] som leder till [annat påstående] som leder till P2" där man istället skulle bli tvungen att även bevisa att P2 även leder till P1.
Kan du visa hur man löser uppgiften?
sonja123 skrev:Bedinsis skrev:swaggerdabber44 skrev:Min fråga gäller snarare uppgiftstolkningen än hur den löses. När det skrivs "visa att följande påståenden är ekvivalenta" innebär det att jag kan börja med vilket av påståendena som helst? Och jag ska inte bevisa varje påstående för sig utan bara att "det ena påståendet leder till det andra"?
Och att "det andra påståendet leder till det ena" också.
Vilket om man har tur med uppgiften kan bevisas i ett svep, typ "P1 är ekvivalent med [ett påstående] som är ekvivalent med [annat påstående] som är ekvivalent med P2" istället för "P1 leder till [ett påstående] som leder till [annat påstående] som leder till P2" där man istället skulle bli tvungen att även bevisa att P2 även leder till P1.
Kan du visa hur man löser uppgiften?
Får se nu... Vi börjar med P3.
Randvinkelsatsen gör gällande att vinkeln A är hälften stor som vinkeln BMC. A är således 60 grader.
Eftersom att triangeln är likbent och vinkelsumman i en triangel är 180 grader så är vinklarna B och C tillsammans 180-60=120 grader, vilket likbentheten gör så att B och C är 120/2= 60 grader. Alla vinklar är därmed lika stora i triangeln och därmed är även alla sidor lika långa och triangeln är liksidig så P3 leder till P1.
På andra hållet: om ABC är liksidig så är varje hörna lika stor, dvs. 60 grader. Då vinkeln BMC kommer vara dubbelt så stor som vinkeln A enligt randvinkelsatsen så är BMC 120 grader, så P1 leder till P3.
P2 då. Eftersom vinklarna B och C är lika stor ty likbenthet så får vi av symmetriskäl att radien MC också måste vara en bisektris till vinkeln C. Om vi delar upp vår triangel i två bitar, en fyrhörning ABMC och en triangel BMC, så vet vi att vinkeln BMC är dubbelt så stor som vinkeln A enligt randvinkelsatsen. Om vi kallar halva B:s vinkel för x så har vi då att vinkelsumman i fyrhörningen är A + x + (360-2*A) + x = 360 och i triangeln x + x + 2*A = 180. Första ekvationen ger att 2*x=A, andra ger att A+x=90 vilket tillsammans ger x till 30 och A till 60. Randvinkelsatsen gör att BMC är 60*2=120 vilket ger P3 och därmed även P1.
På andra hållet: är ABC liksidig så måste vi få tre identiska trianglar om vi drar tre linjer från hörnen in i triangelns mittpunkt(=radien på cirkeln). Därmed måste även hörnens vinklar vara identiska i dessa mindre trianglar och är så fallet är varje radie en bisektris till de olika vinklarna, även B, så P2 stämmer.
Det bästa sättet att lösa sådana här uppgifter på är att rita en bild och tänka efter vad man vill kunna säga baserat på vad man ser i bilden, och därefter tänka efter vad slutsatserna man vill dra kommer ifrån och sedan tänka efter om det finns någon regel som motsvarar de slutsatser som man vill dra.
