Fråga kring talföljder

Om jag har $a_{n} = 3 n$

och vill undersöka elementet efter n kan jag skriva

$a_{n + 1} = 3 (n + 1)$

vi vet att

$a_{n} = 3 n$

så uttrycket kan skrivas som

$3 n + (n + 1) = 3 (n + 1)$

är det korrekt än så länge?

Nej, det blir fel på slutet. Din sista likhet stämmer inte. Varför adderar du n+1 i VL?

SvanteR skrev :
Nej, det blir fel på slutet. Din sista likhet stämmer inte. Varför adderar du n+1 i VL?

jag tänkte att $a_{n} = 3 n$ och +1 är nästa element som kommer efter $a_{n}$ borde då inte vara n+1?

Du blandar ihop värdet av tal nummer n med själva talet n, "ordningsnumret".

Så blir det inte. Prova att sätta in lite värden:

Du har att $a_{n} = 3 n$ . Då blir $a_{4} = 3 * 4 = 12$ . Nästa värde blir $a_{5} = 3 * 5 = 15$ . Här ser du tydligt att du inte kan gå från ett värde till nästa genom att lägga till n+1. Då skulle du ju få 3*4 + 4 + 1 = 17.

SvanteR skrev :
Så blir det inte. Prova att sätta in lite värden:
Du har att $a_{n} = 3 n$ . Då blir $a_{4} = 3 * 4 = 12$ . Nästa värde blir $a_{5} = 3 * 5 = 15$ . Här ser du tydligt att du inte kan gå från ett värde till nästa genom att lägga till n+1. Då skulle du ju få 3*4 + 4 + 1 = 17.

okej men tittar man de första talen ser man att differensen mellan dem är 3 så är de rimligt att skriva

3n + 3 = 3(n+1)

men frågan blir då hur gör man om det inte går att hitta en differensen eller kvot mellan talen

om vi istället hade haft ex $a_{n} = \frac{n}{n + 3}$

$a_{0} = \frac{0}{0 + 3} = 0 a_{1} = \frac{1}{1 + 3} = 1 / 4 a_{2} = \frac{2}{2 + 3} = 2 / 5 a_{3} = \frac{3}{3 + 3} = 3 / 6$

så uttrycket skulle bli $a_{n + 1} = \frac{n + 1}{n + 4}$

så i detta uttryck ska jag kunna sätta in n = 2 och få ut $a_{3}$

$a_{n + 1} = \frac{2 + 1}{2 + 4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ vilket stämmer

men om jag nu utan insättning önskar få fram ekvivalens mellan VL och HL i uttrycket

$a_{n + 1} = \frac{n + 1}{n + 4}$

får jag lite problem som tidigare kan jag ersätta $a_{n}$ men hur ska tänka för att få in korrekt insättning med +1?

För att hitta differensen mellan två element får du ställa upp ett uttryck. Vi börjar med den första serien:

$a_{n} = 3 n a_{n + 1} = 3 (n + 1) = 3 n + 3 a_{n + 1} - a_{n} = 3 n + 3 - 3 n = 3$

Där kan du se att skillnaden mellan ett element och nästa alltid kommer att vara 3.

Nu tar vi den andra serien:

$a_{n} = \frac{n}{n + 3} a_{n + 1} = \frac{n + 1}{(n + 1) + 3} = \frac{n + 1}{n + 4} a_{n + 1} - a_{n} = \frac{n + 1}{n + 4} - \frac{n}{n + 3} = \frac{(n + 1) (n + 3)}{(n + 4) (n + 3)} - \frac{n (n + 4)}{(n + 4) (n + 3)} = \frac{n^{2} + 3 n + n + 3 - (n^{2} + 4 n)}{(n + 4) (n + 3)} = \frac{n^{2} + 4 n + 3 - n^{2} - 4 n}{(n + 4) (n + 3)} = \frac{3}{(n + 4) (n + 3)}$

Och nu har vi ett uttryck för skillnaden mellan en term och nästa. I det här fallet beror skillnaden på värdet av n.

Svara

Visa senaste svar