Fråga gällande konservativa kraftfält

ItzErre

 och båda uppfyller $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

Stämmer det? Det blir väl olika tecken?

Bubo skrev:

ItzErre

 och båda uppfyller $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

Stämmer det? Det blir väl olika tecken?

Jag får båda till $\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}$

Dina exempel på vektorfält $\mathbf{F}=(P,Q)$ uppfyller stundtals (punktvis eller lokalt) villkoret

$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

För att vi ska vara helt säkra på att vektorfälten är konservativa (har en potential) i ett helt område $\Omega$ krävs dock ytterligare ett villkor.

Känner du till något sådant villkor?

D4NIEL skrev:

Dina exempel på vektorfält $\mathbf{F}=(P,Q)$ uppfyller stundtals (punktvis eller lokalt) villkoret

$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

För att vi ska vara helt säkra på att vektorfälten är konservativa (har en potential) i ett helt område $\Omega$ krävs dock ytterligare ett villkor.

Känner du till något sådant villkor?

Området ska vara enkelt sammanhängande. Men (0,0) är ju inte definierad, därför bör väl inget av områdena uppfylla denna egenskap. Trots detta är de andra vektorfältet konservativt.

Just det, området $\Omega$ ska vara enkelt sammanhängande för att vi med absolut säkerhet ska kunna påstå att det finns en potential.

Villkoret $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ är ett exempel på ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor.

Tänk på att satsen i sin helhet inte säger något om vad som händer när villkoret på området inte är uppfyllt. Vi kan alltså inte utesluta att fältet har en potential bara för att det är singulärt i någon punkt.

Det nödvändiga villkoret $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$måste dock ALLTID vara uppfyllt för att det ska finnas en potential. Om det nödvändiga villkoret inte är uppfyllt kan du alltså genast slå fast att fältet inte är konservativt. Det kommer vara omöjligt att finna en potential.

D4NIEL skrev:

Just det, området $\Omega$ ska vara enkelt sammanhängande för att vi med absolut säkerhet ska kunna påstå att det finns en potential.

Villkoret $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ är ett exempel på ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor.

Tänk på att satsen i sin helhet inte säger något om vad som händer när villkoret på området inte är uppfyllt. Vi kan alltså inte utesluta att fältet har en potential bara för att det är singulärt i någon punkt.

Det nödvändiga villkoret $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$måste dock ALLTID vara uppfyllt för att det ska finnas en potential.

Aaaa, då fattar jag. Trodde potentialen fanns och endast om området var enkelt sammanhängande.