fråga angående inhomogena differentialekvationer
Hej! Har fastnat på följande uppgift med inhomogena differentialekvationer. Kan ni hjälpa mig, förklara gärna hur ni tänker när ni ser en sådan här uppgift. Tack!!
För partikulärlösningen kan du ansätta Acos(x)+Bsin(x).
Jag försöker alltid fundera ut vilka typer av funktioner som skulle kunna resultera i en sinusfunktion, och använder dem i min ansats, och sedan får beräkningen visa om jag gissade rätt.
Laguna skrev:För partikulärlösningen kan du ansätta Acos(x)+Bsin(x).
hur då?
JohanF skrev:Jag försöker alltid fundera ut vilka typer av funktioner som skulle kunna resultera i en sinusfunktion, och använder dem i min ansats, och sedan får beräkningen visa om jag gissade rätt.
förstår inte riktigt, hur tänker du?
Förstår du att den allmänna lösningen till den inhomogena differentialekvationen består av summan av en partikulärlösning, och den allmänna lösningen till den homogena differentialekvationen?
Så att din fråga är hur jag tänker för att hitta partikulärlösningen? Eller fastnar du tidigare?
JohanF skrev:Förstår du att den allmänna lösningen till den inhomogena differentialekvationen består av summan av en partikulärlösning, och den allmänna lösningen till den homogena differentialekvationen?
Så att din fråga är hur jag tänker för att hitta partikulärlösningen? Eller fastnar du tidigare?
så långt är jag med! ja exakt, hade du kunnat förklara hur du tänker har läst min boks förklaring hur de löser en sådan här uppgift men förstår inte riktigt tankegången. Början till slut om du förstår vad jag menar. (typ att jag inte hade hittat det själv så en förklaring hade varit uppskattat)
Jag gör om din uppgift för att kunna förklara bättre, hoppas det är ok för dig.
Vi antar istället att det hade stått ett polynom av n'te graden i HL på den inhomogena differentialekvation (dvs termer av potenser av x dvs x^n, x^(n-1), x^(n-2), .. x^0) istället för sinusfunktionen. Då tänker jag att för att partikulärlösningen ska kunna uppfylla likheten VL=HL, så skulle partikulärlösningen mycket väl kunna vara ett polynom som innehåller samma typer av potenser av x, men aldrig termer med högre potens än n. Det förstår man genom att _om_ partikulärlösningen haft termer med högre gradtal än n, så hade du aldrig kunnat uppnå likhet VL=HL eftersom du hade fått ett polynom av grad högre än n i VL, men ett polynom av grad n i HL. Av det inser man att en bra metod att gissa en partikulärlösning är att ansätta en partikulärlösning av samma "typ" som HL-funktionen, och sedan identifiera termer med samma potens av x, i både HL och VL.
På liknande sätt kan man tänka på den inhomogena diffekvationen som du angav i TS. I HL-funktionen finns en sin(x)-funktion. Partikulärlösningen ska alltså innehålla funktioner av samma "typ" som sin(x). Det innebär att man borde ansätta en partikulärlösning som Laguna föreslår här ovan, eftersom deriverar man cos(x) så får man en sinus(x)-term, alltså låter det rimligt att cosinustermen också ska finnas med i ansatsen.
Hänger du med?
