Fråga 9 från Matematik och -Fysikprovet 2018

Om du har ont om tid är uteslutningsmetoden klart bäst, men du kan även göra en teckentabell. Titta på vilket tecken som $x^3-8$ har för olika x, gör samma sak för $x-1$, och slutligen för bråket. Sedan kan du jämföra vilka lösningar som passar med alternativen. Däremot är det inte sant att $x^3$ alltid är positiv. Vad händer om x är negativt? Vad det gäller b har du tänkt rätt, men det är x = 1 som är problemet, inte noll. :)

Smutstvätt skrev:

Om du har ont om tid är uteslutningsmetoden klart bäst, men du kan även göra en teckentabell. Titta på vilket tecken som $x^3-8$ har för olika x, gör samma sak för $x-1$, och slutligen för bråket. Sedan kan du jämföra vilka lösningar som passar med alternativen. Däremot är det inte sant att $x^3$ alltid är positiv. Vad händer om x är negativt? Vad det gäller b har du tänkt rätt, men det är x = 1 som är problemet, inte noll. :)

Riktigt slarvigt av mig men tack för hjälpen! Uppskattas extremt under dessa stressiga tider :)

När du gör de här uppgifterna på provet har du ont om tid. Då är det bra att snabbt kunna resonera sig till rätt svar, det är det man måste försöka lära sig för att få bra resultat på provet.

Däremot undrar jag hur du resonerar när du skriver "x^3 i den ursprungliga olikheten är exponentiell och kommer därmed alltid vara positiv".

${\left(-2\right)}^3=-8$ är väl ett tydligt exempel på att just det resonemanget inte stämmer.

Om man ska lösa uppgiften noga får man ju skissa funktionerna $f\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x-1}$ och $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x-1}$ visa var de är odefinierade, vilka nollställen de har och var de är positiva respektive negativa.

Man ser att båda är odefinierade för x = 1, och det är lätt att visa att om x < 1 är både täljare och nämnare negativa, och då blir funktionen positiv. Alltså gäller båda olikheterna då. Sedan får man visa att för x > 1 börjar båda funktionerna vid minus oändligheten, har ett nollställe vid x = 2 och för x > 2 är de alltid positiva pga både täljare och nämnare är positiva. Men detta tar för lång tid när du gör provet.

SvanteR skrev:

När du gör de här uppgifterna på provet har du ont om tid. Då är det bra att snabbt kunna resonera sig till rätt svar, det är det man måste försöka lära sig för att få bra resultat på provet.

Däremot undrar jag hur du resonerar när du skriver "x^3 i den ursprungliga olikheten är exponentiell och kommer därmed alltid vara positiv".

${\left(-2\right)}^3=-8$ är väl ett tydligt exempel på att just det resonemanget inte stämmer.

Om man ska lösa uppgiften noga får man ju skissa funktionerna $f\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x-1}$ och $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x-1}$ visa var de är odefinierade, vilka nollställen de har och var de är positiva respektive negativa.

Man ser att båda är odefinierade för x = 1, och det är lätt att visa att om x < 1 är både täljare och nämnare negativa, och då blir funktionen positiv. Alltså gäller båda olikheterna då. Sedan får man visa att för x > 1 börjar båda funktionerna vid minus oändligheten, har ett nollställe vid x = 2 och för x > 2 är de alltid positiva pga både täljare och nämnare är positiva. Men detta tar för lång tid när du gör provet.

Inser nu att jag var riktigt otydlig med resonemanget men vad jag menade med "när den överstiger 0" är att funktionen kommer alltid vara positiv när x>0 (med undantaget där den inte är definerad). Därmed så är alla x>2 lösningar till olikheten precis som i a).