Fråga 9 från Matematik och -Fysikprovet 2018

Nu är jag knappast en expert på denna typ av uppgifter, men såhär skulle jag tänka:

A: Solen borde inte kunna vara i mitten av en ellips. Om vi tänker oss att planeten dras närmare solen i sin bana, varför skulle den då kunna fortsätta "bortåt" i sin bana? Den borde, rent logiskt, dras ännu mer mot solen, först när den rundat solen kunna slungas iväg utåt i sin bana igen. 

B: Här är argumentet motsatt det för A, om banan är en cirkel, borde gravitationskraften vara precis lika stark överallt, och solen borde därmed vara i mitten av cirkeln (dvs. banan borde anpassa sig så att solen är i mitten).

C: Det här ser väl rimligt ut, en himlakropp som närmar sig, plockar upp fart när den närmar sig solen, och får tillslut så mycket fart att den kan "slita sig loss" från den omloppsbana den hamnat i. 

D: Känns lite klurigare, men himlakroppen borde väl fastna i omloppsbana runt solen här, eller åtminstone inte fortsätta så symmetriskt? Himlakroppen färdas, kommer nära solen, och färdas med i princip samma avstånd till solen i nästan ett halvt varv, då känns det väl ganska orimligt att den skulle fortsätta ut i rymden med en sådan fart igen? 

Det var bara mina 0,02$, någon annan får gärna förbättra motiveringen till D, och rätta om jag klantat till något. :)

Smutstvätt skrev:

Nu är jag knappast en expert på denna typ av uppgifter, men såhär skulle jag tänka:

A: Solen borde inte kunna vara i mitten av en ellips. Om vi tänker oss att planeten dras närmare solen i sin bana, varför skulle den då kunna fortsätta "bortåt" i sin bana? Den borde, rent logiskt, dras ännu mer mot solen, först när den rundat solen kunna slungas iväg utåt i sin bana igen. 

B: Här är argumentet motsatt det för A, om banan är en cirkel, borde gravitationskraften vara precis lika stark överallt, och solen borde därmed vara i mitten av cirkeln (dvs. banan borde anpassa sig så att solen är i mitten).

C: Det här ser väl rimligt ut, en himlakropp som närmar sig, plockar upp fart när den närmar sig solen, och får tillslut så mycket fart att den kan "slita sig loss" från den omloppsbana den hamnat i. 

D: Känns lite klurigare, men himlakroppen borde väl fastna i omloppsbana runt solen här, eller åtminstone inte fortsätta så symmetriskt? Himlakroppen färdas, kommer nära solen, och färdas med i princip samma avstånd till solen i nästan ett halvt varv, då känns det väl ganska orimligt att den skulle fortsätta ut i rymden med en sådan fart igen? 

Det var bara mina 0,02$, någon annan får gärna förbättra motiveringen till D, och rätta om jag klantat till något. :)

Tack för hjälpen! Jag tänker på precis samma sätt gällande A,B,C men kan inte resonera kring varför D är fel med självförtroende. 

Keplers första lag säger:

"Planeterna i vårt solsystem rör sig i ellipser, där solen befinner sig i ellipsens ena brännpunkt."

Är D felaktigt eftersom föremålet rör sig i en bana som inte är eliptisk? Jag har tidigare gått in med antagandet att keplers lagar enbart gäller för objekt som rör sig i en kontinuerlig "orbit" så som jorden men det kanske är ett felt antagande?

Alternativ D skulle enbart vara möjlig om orbitala excentriciteten $e$ skulle vara mindre än noll. Vid $e=0$ har du cirkulära banor, $0<e<1$ elliptiska banor, $e>1$ hyperboliska banor (T ex kometer). Eftersom excentriciteten ges av

$e = \sqrt{1+\frac{2 \epsilon l^2}{\mu^2}}$

där $\epsilon$ är specifika orbitala energin, $l$ är specifika orbitala rörelsemängsmomentet, och $\mu$ är en standardparameter för dynamik för himlakroppar så ser du att detta uttryck inte kan vara negativt. Alltså är D inte möjligt.

Lättast är nog att bara komma ihåg att:
$e=0$ ger cirkulära banor, $0<e<1$ ger elliptiska banor och $e>1$ ger hyperboliska banor.

Sättet Smutstvätt och emmy löser problemet, såsom jag tolkar det, är att man helt enkelt måste känna till något om solomloppsbanor specifikt. Att de kommer i tre varianter; ellipser (permanenta banor), parabler, och hyperbler (temporära besökare), samt att geometriska fokus för dessa kurvor måste sammanfalla med solen. Genom denna ganska begränsade kunskap exkluderar man alla falska snabbt genom antingen peka på fokus eller på att figuren inte är någon av dessa tre kurvtyper. D är ingen av dessa.

Jag är rätt säker på att det är så provformulerna tänke att man skulle gjort... men! man kan lista ut detta endast utifrån en känsla för newtons lagar. 

D är inte bara omöjlig eftersom kroppen påverkas av en graviationskraft. De är omöjliga oavsett vilken typ av kraft det rör sig om så länge den det är en genuin centralkraft. Detta eftersom sådana banor måste lyda under principen om tidsreversibilitet, att en rörelse spelad bakänges ska se lika rimlig och till karaktären likadan ut som en som spelas framlänges och det finns två punkter i banan som bryter denna princip. 

Det är lite svårt att förklara men låt mig markera ut två punkter/linjer i bilden som är själva skälet till varför den är omöjlig och se om något klickar för er.

Jag vet vad du fikar efter, eftersom kraften är konservativ så måste energin vara bevarad och det implicerar tidssymmetri (kan visas med t ex Noethers sats). Jag antar att du resonerar som så att eftersom vi har en skärning borta till höger så måste kurvan vara helt symmetrisk med avseende på den horisontella axeln, men om du kan se att den inte är det med blotta ögat så har du nog bättre syn än vad jag har! :D

Jag hade nog köpt ditt argument om vi hade haft kurvans matematiska uttryck så vi hade kunnat jämföra två symmetriska koordinater, men när vi bara har en bild att åtgå ifrån så föredrar jag nog bara en enklare kvalitativ förklaring.

Inte riktigt. Den blå symmetrin är ett exempel på den typ av symmetri man hade förväntat sig även runt de röda linjerna men som inte finns trots att de måste finnas i alla centralsystem. 

Om banans lokala tangent är vinkelrät mot kraftriktningen i en punkt så måste kurvan globalt** vara symmetrisk runt den linjen. Den blå är ett exempel på symmetrier som man förväntar sig runt sådana punkter vilket är varför kurvan eg. känns ganska rimlig medan symmetri saknas runt de röda varför kurvan är orimlig. 

Anledningen till det kräver inte högre fysik, bara en intuition för hur centralrörelse genereras lokalt av newtons andra lag. 

Låt säga att partikeln är vid P och rör sig åt höger längs kurvan. Om du speglar systemet i PO dvs vänder hastighetvektorn så hade du fått den lila kurvan jag lagt till. Om du däremot "vänder tiden" istället och spelar dess rörelse balänges så väljer att ta den superkrökta vägen runt O istället...

Detta är absurdt eftersom matematiken, differentialekvationen om man så vill, ser lika dan ut oavsett om du speglar rumskoordinaterna i PO eller reverserar tiden t->(-t) så delkurvorna skulle egentligen ha behövt vara desamma. 

Jag kan göra förklaringen mer matermatisk eller mindre matematisk men väljer det här mellantinget. 

**om kurvan inte är periodisk så får "globalt" tolkas som ett påstående om banan i lite vidare mening.