Fråga 18 på NP för matte 4, svårt att lösa för minsta x värdet

Har du ritat? Det är alltid lättare att lösa något, om man vet vad det är man letar efter.

Har du skrivit av uppgiften ord för ord? Det är alltid lättare att hjälpa till då.

Korspostning är inte tillåtet. Vi håller oss till denna tråd. /Smutstvätt, moderator

Vilket årtal är det på detta NP?

Yngve skrev :

Vilket årtal är det på detta NP?

Uppgiften är från Matte 4 del D, NP vt13.

precis. Jo, har ritat upp det, men söker svaret utan att använda grafen.

och vidare så är frågan om antal lösningarna.

Jag antar att det gäller hur många gånger y=2 och y=x/5 + cos2x kommer att korsa varandra, men jag vet inte hur jag kan räkna ut det.

Kan jag få en förklaring?

Tack!

J

Så vitt jag kan se har du fortfarande inte postat uppgiften ord för ord. Så svaret på din fråga är - NEJ.

ok, här är frågan -

Ekvationen x/5 + cos2x = 2 har flera lösningar.

Samtliga lösningar ligger i intervallet -20 x 20

a) bestäm den minsta lösningen till ekvationen.

b) Bestäm antalet lösningar till ekvationen.

1. Derivera funktionen x/5+cos2x.

2. Sätt derivatan = 0 och lös. Bry dig bara om lösningar i rätt intervall.

3. Sätt in x-värdena i ekvationen och kolla om y-värdet blir större än eller mindre ön 2.

4. Skissa.

Detta bör ge dig svaret på a-frågan. B-frågan får nog lösas numeriskt.

Snarlikt lösningsförslag , men med lite mer fokus på grafritande miniräknare:

$x/5+\cos(2x)=2 \Leftrightarrow \cos(2x)=-\frac{1}{5}x+2$

Vi har alltså en cosinuskurva som ska skäras av en linje, förmodligen ett antal gånger.

Cosinusfunktionen lever mellan y=+1 och y=-1. Vi börjar med att rita in två hjälplinjer för att markera mellan vilka y-värden cosinusfunktionen kan påträffas.

Vår linje y=-1/5x+2 går in området mellan linjerna (där den alltså kan tänkas stöta på cosinusfunktionen) vid x=5 och lämnar området vid x=15. Vi lägger till vår linje i grafen:

Slutligen lägger vi till vår cosinusfunktion. Om man ritar grafen för hand kan det vara lämpligt att markera max- och minpunkterna först och sedan löst skissa en mjuk och elegant cosinuskurva mellan punkterna.

Har man ritat någorlunda tydligt är det enkelt att se att det förekommer 7 möten mellan linjen och cosinusfunktionen i intervallet. Är man sämre på att rita kan man ändå notera att det ligger en max- eller minpunkt mellan varje möte tills linjen lämnar det romantiska området mellan y=1 och y=-1 där möten är möjliga. Det är då en smal sak att räkna antalet extrempunkter +1.

Ur grafen ser vi att det första mötet sker runt $x \approx6$ vilket kan tjäna som startvärde för några Newton-Raphson iterationer.

hej! Tack för en glasklar förklaring till frågan. Nu förstår jag mycket väl. Finns det något sätt att fixa svaret utan att rita eller att använda en grafritande miniräknare?

Inte vad jag vet.

jonathanscole skrev :

hej! Tack för en glasklar förklaring till frågan. Nu förstår jag mycket väl. Finns det något sätt att fixa svaret utan att rita eller att använda en grafritande miniräknare?

1. Resonera dig fram till att det inte finns några lösningar x< 5, eftersom -x/5 + 2 > 1 om x < 5

2. Skriv om din ekvation som:

cos(2x) + x/5 - 2 = 0

Använd sedan 5 som startvärde i Newton-Raphsons metod.

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/NEWTON_RAPHSON.pdf

Du behöver fortfarande en miniräknare, men den behöver inte vara grafritande. 

SvanteR skrev :

Använd sedan 5 som startvärde i Newton-Raphsons metod.

Du behöver fortfarande en miniräknare, men den behöver inte vara grafritande. 

Hej Svante, just 5 är ett olyckligt val som startvärde eftersom derivatan där "skjuter" över första nollstället och ger dig  nästa (dominanta) rot. Man måste välja ett startvärde lite närmare roten man söker.