Fourirtransform

Jag undrar om jag gjort rätt med följande? Jag har bara bit för bit pusslat ihop detta, men jag förstår det inte, det är bara ett antagande alltihop. Kan någon förklara denna och säga om det är rätt?

Uppgift: Bestäm den funktion $f\left(t\right)$ som har fourirtransformen $F\left(\omega \right)=\frac{1+j\omega }{4+{\omega }^2}$

Först drar jag isär uttrycket $\frac{1}{4+{\omega }^2}+\frac{j\omega }{4+{\omega }^2}$

Sedan återtransformerar delarna för sig $\frac{1}{4+{\omega }^2}\Rightarrow -j\frac{2\omega }{{\alpha }^2+{\omega }^2}\subset e^{-2\left|t\right|}$ och $\frac{j\omega }{4+{\omega }^2}\Rightarrow -j\frac{2\omega }{{\alpha }^2+{\omega }^2}\subset e^{-2\left|t\right|}·sgnt$ 

sgnt är något obekant som jag tog ur tabell, vet inte vad den har i talet att göra egentligen?

$\frac{2\alpha }{{\alpha }^2+{\omega }^2}--j\frac{2\omega }{{\alpha }^2+{\omega }^2}\Rightarrow \frac{2·2}{2^2+{\omega }^2}+\frac{j2\omega }{2^2+{\omega }^2}$ 

För att få det att bli plus mellan bråken så satte jag in extra minus, så jag konstruerade det själv. Jag vet inte hur regeln lyder, eller om jag ens gjort rätt såhär långt?

Svar: $f\left(t\right)=e^{-2\left|t\right|}+e^{-2\left|t\right|}·sgnt$