Fouriertransform m.h.a. definitionen

Hej!

Vad är $\theta \left(t\right)$? Är det en godtycklig okänd funktion (som såklart fortfarande uppfyller att $\theta \left(t\right)*\sin \left(t\right)\in L^1\left(\mathrm{ℝ}\right)$)? Eller är det en annan känd funktion?

Det måste vara följande funktion som avses:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function

Välkommen till Pluggakuten!

Ni börjar med ett slarvfel: integration med avseende på frekvensen $\omega$ när det borde vara med avseende på tiden $t$. Fouriertransformen ska vara

    $\displaystyle\hat{f}(\omega) = \int_{\mathbb{R}}\theta(t)\sin t \,e^{-i\omega t}\,dt = \int_{0}^{\infty}\sin t\,e^{-i\omega t}\,dt.$

Sedan är $\sin t = \frac{e^{it}-e^{-it}}{i2}$ vilket ger integralen

    $\displaystyle\frac{1}{i2}\int_{0}^{\infty}e^{it(1-\omega)}-e^{-it(1+\omega)}\,dt$.

För att beräkna den komplexa integralen utan att fuska via tabeller eller genom att -- som ni gör i era anteckningar -- betrakta den imaginära enheten $i$ som en konstant, behöver man gå via Cauchys integralsats tillämpad på funktionen

    $h(z) =e^{z(1-\omega)}-e^{z(1+\omega)}\ , \quad z\in\mathbb{C}$

som integreras längs den positivt orienterade kurvan $\gamma$ i första kvadranten i det komplexa talplanet.

    $\gamma = \gamma_1\cup\gamma_2\cup\gamma_3$

där

    $\gamma_1 = \{z\in\mathbb{C}:z=x+i0\ , 0<><>$

och

    $\gamma_2=\{z\in\mathbb{C}:z=Re^{i\theta}\ , 0<><\pi>$

och

    $\gamma_3=\{z\in\mathbb{C}:z=0+iy\ , 0<><>$

Sedan ska man låta $R\to\infty$ för att få den sökta Fouriertransformen av funktionen $f$.

Tack för all respons och tack Albiki för din vägledning.  Uppskattas verkligen!