Fouriertransform - Differentialekvation

Låt $f\left(t\right)$vara den funktion vars Fouriertransform är 

$\hat{f}\left(\omega \right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{\omega }^2}, \left|\omega \right|<1\\ 0 , annars.\end{array} \right.$

Visa att $f$uppfyller differentialekvationen $tf\text{'}\text{'}+3f\text{'}+tf=0.$

Osäker hur man gör här för det finns inte ett enda liknande exempel i boken, endast denna uppgiften. 

Hur som helst... Jag tänker att man transformerar ekvationen termvis och sedan sätter in den givna funktionen $\hat{f}.$Det blir långa uträkningar så jag kommer utelämna det mesta.

Första termen:

 $\widehat{tf\text{'}\text{'}}\left(\omega \right) = i\frac{d}{d\omega } \widehat{f\text{'}\text{'}}\left(\omega \right) = ..... = -i\frac{d}{d\omega }\left({\omega }^2 \hat{f}\right) = -i2\omega \widehat{ f}-i{\omega }^2\frac{d\hat{f}}{d\omega }$

Andra termen:    $\widehat{3f\text{'}}\left(\omega \right)=3i\omega \hat{f}$

Tredje termen:    $\widehat{tf}\left(\omega \right) = i\frac{d\hat{f}}{d\omega }$

Alltså:    $-i2\omega \widehat{ f}-i{\omega }^2\frac{d\hat{f}}{d\omega } + 3i\omega \hat{f} + i\frac{d\hat{f}}{d\omega } = 0$

Sen kan $\hat{f}$uttryckas med Heaviside-funktionen: 

$\hat{f}\left(\omega \right) = \sqrt{1-{\omega }^2}\left(\theta \left(\omega +1\right)-\theta \left(\omega -1\right)\right)$

Efter rätt tidskrävande derivering kan differentialekvationen uttryckas såhär:

$i\omega \sqrt{1-{\omega }^2}\left(\theta \left(\omega +1\right)-\theta \left(\omega -1\right)\right) + i\left(1-{\omega }^2\right)\left(\frac{-\omega }{\sqrt{1-{\omega }^2}}\right)\left(\theta \left(\omega +1\right)-\theta \left(\omega -1\right)\right) = 0$

Men jag ser inte hur detta är lika med noll. Tror jag helt ute och cyklar, eller? Borde inte bli såhär komplicerat känner jag.

Har jag transformerat fel någonstans? Jag utgår ifrån en tabell med standard-transformationer som kan justeras med skalning, modulering osv. 

Jag har även testat att utelämna Heaviside-funktionen, men det blir fortfarande inte noll vad jag kan se.