Fouriertransform av faltning

Eftersom faltningen är kommutativ, borde man även kräva begränsning på v. Detta är ju redan ordnat, eftersom

$u,v \in \mathcal{L}^1$ innebär att

$||u||_1<\infty$ samt $||v||_1<\infty$.

Kontentan är:

Du kan inte byta integrationsordning hur som helst. När du byter ordning använder du dig i själva verket av Fubinis sats, som säger att man kan byta integrationsordning så länge integralen av integrandens absolutbelopp är begränsad. Du måste alltså egentligen visa att integralen:

$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\left|u\left(t-r\right)v\left(r\right)e^{-i\omega t}\right|\ drdt$

är begränsad innan du byter integrationsordning. Detta gör du förslagsvis genom att du vet att $u$, och även $v$ enligt dr_lund:s resonemang, är begränsade.

Tack :)