Fourierserier

Hej!

Jag har stora problem med att förstå Fourierserier. Jag hittar nästan inget exempel på liknande uppgifter, varken i min bok eller online.

Ett exempel från en gammal tenta:

"Fourierserien

$\frac{a_{0}}{2} + {\sum_{n = 1}^{\infty}}_{} a_{n} \cos \frac{n π x}{2} + b_{n} \sin \frac{n π x}{2}$

där

$a_{n} = \frac{1}{2} \int_{- 2}^{2} f (x) \cos \frac{n π x}{2} d x b_{n} = \frac{1}{2} \int_{- 2}^{2} f (x) \sin \frac{n π x}{2} d x$

av funktionen

$f (x) = 1 + x + x^{2} - 2 \leq x \leq 2$

har vilket värde i punkten x=-2 ?"

Med formeln från kursboken får jag $a_{0} = 1$

Det jag inte har lyckats förstå mig på är:

1. Hur hanteras "n" när jag beräknar $a_{n}$ och $b_{n}$ ?

2. Säg att jag får rätt värde på $a_{n}$ och $b_{n}$ .

Jag stoppar in det i serie-uttrycket, men hur hanteras summa-tecknet? Kan jag direkt omvandla det till en integral från -2 till 2 eller hur går jag tillväga?

3. När stoppar jag in x=-2?

Rätt svar ska vara 5. Jag har fått en mängd olika svar varav ingen blir 5, så jag antar att jag inte räknar rätt. De svar jag får innehåller samtliga pi i olika variationer (typ pi/2 osv).

Tack på förhand!

Hur kalkylerar du a₀ ? Jag får $4 \frac{2}{3}$ .

Ditt problem är kanske helt enkelt att i detta fall är perioden 4 och inte 2 $π$ .

Macilaci skrev:
Hur kalkylerar du a₀ ? Jag får $4 \frac{2}{3}$ .

Ja du har rätt, jag har använt fel formel för $a_{0}$

Macilaci skrev:
Ditt problem är kanske helt enkelt att i detta fall är perioden 4 och inte 2 $π$ .

Menar du att det är enkelt eller inte? Jag vet inte hur jag ska gå vidare efter att ha bestäm $a_{0}, a_{n} o c h b_{n}$ .

Jag har sett något exempel på när cos-termen i en serie formuleras som $\cos (n π) = {(- 1)}^{n}$ .

Är det på något sådant sätt jag ta gå till väga?

Du ser t.ex. att b_n räknas inte, därför att $\sin \frac{n πx}{2} = 0$ där x=-2.
Men jag tror inte att du kan eller även behöver räkna ut alla a_n.

Vi vet nämligen att i punkter där funktionen har en språngdiskontinuitet så konvergerar Fourierserien mot medelvärdet av höger- och vänstergränsvärdena. (Jag minns inte vad denna sats kallas)

Din periodiska funktion ser ut så här:

högergränsvärd = 3

vänstergränsvärd = 7

Macilaci skrev:
Du ser t.ex. att b_n räknas inte, därför att $\sin \frac{n πx}{2} = 0$ där x=-2.
Men jag tror inte att du kan eller även behöver räkna ut alla a_n.

Vi vet nämligen att i punkter där funktionen har en språngdiskontinuitet så konvergerar Fourierserien mot medelvärdet av höger- och vänstergränsvärdena. (Jag minns inte vad denna sats kallas)

Din periodiska funktion ser ut så här:

högergränsvärd = 3

vänstergränsvärd = 7

Ja! Nu fick jag rätt svar! Stort tack för att du tog dig tid att hjälpa mig.

Jag använde Fouriers konvergenssats för att räkna ut värdet, det är nog den du tänker på.

Svara

Visa senaste svar