Fourierserie, Parsevalssats för att räkna ut oändlig summa

Jag ska räkna ut $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{3}}$ m.h.a. $f (x) = x (1 - |x|)$ för $x \in [- 1, 1]$ med period=2.

Så jag tänker att jag ska använda Parsevals sats;

$\frac{1}{L} \int_{x_{0}}^{x_{0} + L} {|f (x)|}^{2} d x = (\frac{a_{0}}{2})^{2} + \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$ ,

där L är perioden till den periodiska funktionen f(x), x0 är godtycklig, a0,an,bn är Fourierkoefficienter till f(x).

Vänsterledet:

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} {|f (x)|}^{2} d x = \frac{1}{30}$

Högerledet:

a0=an=0 för alla n.

$b_{n} = \int_{- 1}^{1} f (x) \sin (n π x) d x = . . . m a s s a p a r t i a l i n t e g r a t i o n . . . = \frac{4}{n^{3} π^{3}} - \frac{4}{n^{3} π^{3}} \cos (n π) = \frac{4}{n^{3} π^{3}} (1 - (- 1)^{n}) = \frac{8}{π^{3}} \frac{1}{(2 k + 1)^{3}}$

observera att integralen egentligen får sinustermer också, men dessa stryks eftersom n endast är heltal, så alla sinustermer blir noll. Av samma anledning blir alla cosinustermer -1 eller 1 för udda respektive jämna n. Så för alla jämna n blir svaret 0, så jag behöver bara ta hänsyn till udda n, n=2k+1.

Parsevalssats ger nu:

$\frac{1}{30} = \frac{32}{π^{6}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1)^{6}} \Rightarrow \frac{π^{6}}{960} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1)^{6}}$

Den sista summan stämmer enligt WolframAlpha, så hittills har jag nog gjort rätt, om det är rätt väg att gå. Jag vet inte hur jag ska gå från denna summa till den jag vill beräkna.
Summan jag vill ha har varannan negativ term, medan denna endast har positiva.
Summan jag vill ha, i kvadrat, blir denna sista summa, men roten ur den sista summan ger ju inte den önskade summan.. så lite förvirrad hur jag ska fortsätta.

Hej!

Du ska inte använda Parsevals formel!

Om du tänker efter litet så ser du att i Parsevals formel är seriens termer icke-negativa (de är ju kvadrater) medan termerna i din serie är positiva (för jämna $n$ ) och negativa (för udda $n$ ).

Vad du istället ska göra är att studera Fourierserien förknippad med din 2-periodiska funktion. Om du beräknar Fourierserien i en lämpligt vald punkt $a \in [-1,1]$ så kommer funktionsvärdet att vara lika med serien

$f(a) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(1+2n)^3}\ .$

Albiki

Hej!

Fourierkoefficienterna är

$b_{n} = \int_{-1}^{1}f(x)\sin \pi n x\,\text{d}x = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{4(1-\cos\pi n)}{\pi^3}\ .$

Notera att $1-\cos\pi n = 2$ om $n$ är ett udda tal; för jämna $n$ är $1-\cos\pi n = 0\ .$ Det betyder att Fourierserien till din 2-periodiska funktion är

$(\frac{2}{\pi})^3\cdot\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^3}\sin \pi k x \ .$

Kan du komma på något $x \in [-1,1]$ sådant att $\sin\pi kx = -1$ för udda $k$ och $\sin\pi kx = 1$ för jämna $k$ ?

Albiki

Hej!

Fourierserien till din 2-periodiska funktion är

$(\frac{2}{\pi})^3\cdot\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^3}\sin \pi (2k+1) x \ .$

Kan du komma på något $x \in [-1,1]$ sådant att $\sin\pi (2k+1)x = -1$ för udda $k$ och $\sin\pi (2k+1)x = 1$ för jämna $k$ ?

Albiki

Aah, det blev mycket enklare. Tack så mycket!

Svara

Visa senaste svar