Fourieranalys: kan man skriva vilken funktion som helst som en summa av trigfunktioner?

Om du bildar restriktionen av funktionen till ett intervall kan du sedan utvidga den periodiskt och ta fram fourierserien.

Så man kan bara anpassa funktioner som är periodiska? 

Men om jag skär av x^2 vid -1 och 1 och vill anpassa en fourierserie till den, går det?

Javisst, det är bara att räkna ut koefficienterna med definitionen. Integrera från -1 till 1

Är den enda gången en fourirerserie inte har oändligt många termer då funktionen jag vill anpassa är en trigfunkton? (som taylorserier, eller?)

På svenska wikipedia "fourierserie" finns en 1/pi framför integralen, ska jag ha den?

https://www.desmos.com/calculator/wvh2y3wn7y varför funkar det inte?

Det var bara desmos som var långsam. Med n från 1 till 50 får jag en jättefin anpassning

Men då förstår jag inte, jag kan ju sätta integrationsgränserna godtyckligt (långt ifrån varandra), så då kan jag ju anpassa hela y=x^2?

Serien skulle inte bli periodisk, men det är inte så konstigt för x^2 är inte periodisk?

Är den enda gången en fourirerserie inte har oändligt många termer då funktionen jag vill anpassa är en trigfunkton? (som taylorserier, eller?)

Yep.

På svenska wikipedia "fourierserie" finns en 1/pi framför integralen, ska jag ha den?

Hur man beräknar fourierkoefficienterna beror på vilket intervall man vill att Fourierserien ska vara periodisk över. Se https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series#Definition

Vill man ha en som är periodisk över $[-\pi, \pi]$ så är $P = 2\pi$ i formeln medan om man vill att serien ska vara periodisk över $[-1, 1]$ istället så har man $P = 2$. Notrera dock att P förekommer på tre platser i uttrycket. Som en ledande faktor, i gränserna, och i cosiunus/sinusfunktionen.

Din Desmosfil matchar exempelvis inte formeln då $\pi$ borde förekomma i cos/sin-termerna $\cos(2\pi n x)$  om du ska ta [-1,1]-fallet

Utifrån min utbildnigsbakgrund så föredrar jag generellt $P = 2\pi$-fallet så det är lättare att utvärdera intetgralerna analytiskt om man slipper ha en stor faktor inuti de trigonometriska funktionerna. 

Att ändra gränserna till $\pm \pi$ och dela allt med en ledande $1/\pi$ ger $[-\pi, \pi]$-fallet

Sedan har du inte heller tagit med n = 0-termen. Nog bäst att göra om det hela från scratch. 

https://www.desmos.com/calculator/wvh2y3wn7y varför funkar det inte?

Det var bara desmos som var långsam. Med n från 1 till 50 får jag en jättefin anpassning

Blir ett prestandaproblem att beräkna jättemånga integraler i en dynamisk situation. Vill du att Desmos ska kunna prestera dynamiskt så får du nog utföra integralerna symboliskt. Har man bråttom kan man göra det med wolframalpha, https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+x%5E2+cos%28nx%29+dx+from+-pi+to+pi+ men blir mer förenklat om man ta

Men då förstår jag inte, jag kan ju sätta integrationsgränserna godtyckligt (långt ifrån varandra), så då kan jag ju anpassa hela y=x^2?

Det kan man i princip göra ja fast då får man vad som kallas för en Fouriertransform istället. Dock så kan man bara göra det på ett sätt som konvergerar med funktioner som är begränsade och avtagande då andra funktioners fouriertransformer blir funktionaler som dirac-deltat och dess derivator istället. 

SeriousCephalopod skrev:

Yep.

Trevligt!

Hur man beräknar fourierkoefficienterna beror på vilket intervall man vill att Fourierserien ska vara periodisk över. Se https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series#Definition

Vill man ha en som är periodisk över $[-\pi, \pi]$ så är $P = 2\pi$ i formeln medan om man vill att serien ska vara periodisk över $[-1, 1]$ istället så har man $P = 2$. Notrera dock att P förekommer på tre platser i uttrycket. Som en ledande faktor, i gränserna, och i cosiunus/sinusfunktionen.

Din Desmosfil matchar exempelvis inte formeln då $\pi$ borde förekomma i cos/sin-termerna $\cos(2\pi n x)$  om du ska ta [-1,1]-fallet

Utifrån min utbildnigsbakgrund så föredrar jag generellt $P = 2\pi$-fallet så det är lättare att utvärdera intetgralerna analytiskt om man slipper ha en stor faktor inuti de trigonometriska funktionerna. 

Att ändra gränserna till $\pm \pi$ och dela allt med en ledande $1/\pi$ ger $[-\pi, \pi]$-fallet

Sedan har du inte heller tagit med n = 0-termen. Nog bäst att göra om det hela från scratch. 

Jag ska justera, men vadå från scratch? Integralgrejen orkar jag inte, jag får låta desmos ta lite extra tid bara

Det kan man i princip göra ja fast då får man vad som kallas för en Fouriertransform istället. Dock så kan man bara göra det på ett sätt som konvergerar med funktioner som är begränsade och avtagande då andra funktioners fouriertransformer blir funktionaler som dirac-deltat och dess derivator istället. 

Öh men... ja asså x^2 konvergerar ju inte heller så vad är det som är konstigt? Vadå dirac delta? Kan du visa och skriva lite matte?

Bump

Nu har jag en fourierserie som liknar x^2 i ett intervall (men som är fel på flera ställen), och det är en summa av cosar och sinor, men hur kan det vara samma sak som fouriertransformen? Jag har sett dess definition och om jag stoppar i f=x^2 så blir det inte samma.