Fourieranalys: följder av funktioner egentligen funktioner av två variabler?
Det är något som kliar i bakhuvudet varje gång jag ser serier eller följer av funktioner. Säg , jag ser det gärna som . I sånna fall så varför inte tillåta reella n? Då kan man tillämpa alla vanliga metoder från flervariabelanalysen för att beestämma egenskaper hos (tex hur snabbt den avtar i en punkt?).
Men det blir svårt att tala om konvergens eller överhuvudtaget att betrakta som en mängd olika funktioner då, vilket är hela poängen i fourieranalys.
Jag gillar ditt sätt att betrakta föjder som funktioner av NxR. En följd är alltid en uppräknelig mängd. Det är viktigt när man ska definiera konvergens, för konvergensen är helt avhängig vilka öppna mängder vi har och i ett funktionsrum som här, är elementen funktioner och inte punkter, så begreppet konvergens behöver nya skarpa definitioner. Med n som ett REELT tal, som du föreslår, har vi då inte längre en FÖLJD, utan man kan då tala om s k NÄT (det finns också andra begrepp som har samma effekt). Nät presenterar en del överraskningar som kan få de flesta att höja ögonbrynen. Ex: En delföljds indexmängd är ju alltid en delmängd av den urprungliga följdens indexmängd, men så behöver det inte vara med nät. Indexmängden till ett delnät kan t o m ha högre kardinalitet än det ursprungliga nätet. Ett delnät till en följd behöver sålunda inte vara en delföljd. Näten kan ge andra öppna mängder av funktioner, vilket förändrar vad som menas med ordet konvergent. Ett råd blir därför att iakttaga stor försiktighet när du låter n bli rella tal. Detta kan verka mystiskt, men området är väl utforskat och bra läroböcker är skrivna för den som är intresserad.
