Fourier transformen

Det går ju att förenkla.

Från tredje raden nerifrån så kan du skriva om det som

$\dfrac{1}{i\omega}\cdot 2\cos \omega+\dfrac{1}{\omega^2}\cdot (-2i\sin \omega)$

genom att para ihop lämpliga uttryck av exp(iω) och exp(-iω).

Tillägg: 7 jan 2024 19:48

Är det knas med något tecken någonstans?

Okej, ja, jag tror att det kan finnas ett tecken som är fel någonstans... försökte förenkla och bytte ut $e^{i\omega}$ m.h.a Eules formel men det gav inget, så någonstans är det fel.

$[-te^{-i\omega t}]_{-1}^1= -1e^{-i\omega }-(-(-1)e^{i\omega})=-(e^{i\omega}+e^{-i\omega})=-2\cos \omega$

Tre minustecken på en term och ett på en annan. 

OK! Där ser man. Jag är bara rostig asså. Tack Dr. G

Glömde uppgift b) Hur gör man där nu igen? Är det Parsevals formel?

Ja, det är väl här betydligt smidigare att integrera i t-domänen. 

Tillägg: 7 jan 2024 20:58

Fast då ska det väl vara integral av |F(ω)|²?

Inget absolutbelopp i ditt fall. 

Dr. G skrev:

Ja, det är väl här betydligt smidigare att integrera i t-domänen. 

I facit står det så här. Varifrån kommer $-2\pi$?

2π är en skalfaktor som beror på hur fouriertransformen är definierad. I ditt fall verkar du ha skalfaktor 1 när du integrerar i t-domänen. Då är skalfaktorn 1/(2π) för inverstransformen. 

Det blir då även här en faktor 2π på Parseval.

Steg 1 i facit är dock inte uppenbart för mig.

Hade uppskattat om du kunde visa lösningen, då jag inte förstår facits och i boken står det inte mycket om hur integralen i din formen kan beräknas.

Det är nåt trick de använder för det första steget i likheten där de byter kvadraten mot kvadraten på absolutbeloppet och ett minustecken som jag inte ser varifrån det kommer.

För att beräkna $\|\hat{f}\|^2$ behöver du det komplexa konjugatet av $\hat{f}$ och från uppgift a) inser du enkelt att $\bar{\hat{f}}=-\hat{f}$ (flippa bara tecken på i som vanligt vid konjugering).

Aha, uttrycket är ju rent imaginärt, missade det!