Fourier transform

Är meningen att man bestämmer fouriertransformen utifrån definitionen? Eller har ni något formelblad som ska användas här?

Lägg märke till att man kan skriva om den givna funktionen som $f(t) = e^{-2|t|} \cos t, \ t\in \mathbb{R}$, så funktionen är jämn. Därmed kan symmetrier utnyttjas om man vill bestämma transformen m.h.a. definitionen:

$\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt = \int_{-\infty}^\infty f(t) (\cos \omega t - i\,\sin \omega t)\,dt = 2 \int_0^\infty f(t) \cos \omega t\,dt$

då $f(t) \cos \omega t$ är jämn medan $f(t) \sin \omega t$ är udda och man integrerar över ett symmetriskt intervall.

Kan du ta dig vidare?