Fourier

Hej! Jag undrar om det skulle gå att lösa denna uppgift mha serier. Här kommer min tanke & försök:

$y'' (t) + y (t) = f (t), d ä r f (t) = \{\begin{array}{l} π - t, d å t \in (0, π] \\ 0 [- π, 0) \end{array} f (t) = f (t + 2 π) D e t j a g t ä n k e r ä r a t t j a g v i l l s k r i v a o m H L m h a H e a v i s i d e . J a g t ä n k e r n å g o t i s t i l m e d : f (t) = (π - t) - \sum_{n = - \infty}^{\infty} [(π - t) H (t - 2 n π - π)] S ä k e r t f e l, m e n p o ä n g e n ä r i a l l a f a l l a t t d e n h a r s a m m a f o r m s o m f (t) i a l l o ä n d l i g h e t . D å s e r i e r ä r l i n j ä r a t ä n k e r j a g a t t m a n b a r a s k u l l e k u n n a g ö r a f o u r i e r t r a n s f o r m o c h l ö s a d e t t a g e n o m t a b e l l ?$

Börja med att uttrycka $y (t)$ som en allmän fourierserie:

$y (t) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (\frac{2 π n t}{T}) + b_{n} \sin (\frac{2 π n t}{T})$

Eftersom högersidan har en period på $2 π$ måste vänstersidan också ha det. (d.v.s. $T = 2 π$ )

Sätter du in detta i differentialekvationen får du en ny summa på vänster sida.

Nu kan du i tur och ordning multiplicera båda sidor med någon av basfunktionerna för fourierserien:
{ $1$ , $\cos (n t)$ , $\sin (n t)$ } och sedan integrera båda sidor över en av högersidans perioder t.ex. [ $- π$ , $π$ ]

Det ger kommer att ge dig ekvationer som du kan lösa för att få fram $a_{0}$ , $a_{n}$ & $b_{n}$ .

Svara