Förutspå invånarantalet efter t år i en kommun

För att förutspå invånarantalet efter t år så används modellen N´(t)=0.014N(t)+130

N(0)=30000

Förutspå med hjälp av modellen hur stor befolkningen är efter 10 respektive 20 år

Hur är det tänkt att uppgiften ska lösas, algebraiskt eller med datorverktyg?

Datorverktyg: Omvandling till y'(x)=0.014y(x)+130, och sedan WolframAlpha ger att ekvationen har lösningen $y = 39285, 7 e^{0, 014 x} - 9285, 71$ vilket (om man vill) kan förenklas till $y = 39300 e^{0, 014 x} - 9300$ . Kolla vad som händer om x=10 respektive 20.

Algebraiskt:

En inhomogen förstagradsdifferentialekvation har en lösning som kan skrivas som $y = y_{H} + y_{p}$ , där $y_{H}$ är lösningen på den homogena varianten av differentialekvationen och $y_{p}$ är partikulärlösningen. Eftersom det är en förstagradare kommer $y_{H}$ att ha en lösning på formen $y = C e^{k x}$ . För att hitta partikulärlösningen kan vi göra ett antagande; eftersom vi endast har en konstantterm kan vi anta att partikulärlösningen är på formen $y_{p} = a$ . Där a är en konstant. Derivatan av denna funktion är såklart 0. Om vi sätter in det i ursprungsfunktionen får vi:

$0 = 0, 014 a + 130 a = - \frac{130}{0, 014} \approx - 9285, 7$

Då kan vi sätta samman lösningen till vår differentialekvation: $N (x) = C e^{0, 014 x} - 9285, 7$ . Kvar är då att bestämma C. Vi vet att N(0)=30000

$30000 = C e^{0.014 \times 0} - 9285, 7 39285, 7 = C \times 1 C = 39285, 7$

Alltså är lösningen: $N (x) = 39285, 7 e^{0, 014 x} - 9285, 7$ . Sätt in x=10 och x=20.

Svara