Försumbart x vid beräkning av division - koncentration?

Hej!

Jag förstår inte hur det kan bli felaktigt att räka ut enligt:

$2, 7 * 10^{- 11} = \frac{x^{2}}{0, 100 - x} 2, 7 * 10^{- 11} (100 - x) = x^{2} 2, 7 * 10^{- 9} - 2, 7 * 10^{- 11} x = x^{2}$

Löste sedan med PQ och fick x1=-5,17011*10^-5 x2:5,17011*10^-5

Lösningen säger dock att

Beräkning av pH enligt x=5,17011*10^-5 ger pH=4,28. Enligt uträkning hos facit blir pH 5,78 så det skiljer ju sig en del.

Jag förstår inte varför det blir felaktigt när man räknar (och inte försummar något).

Jag förstår inte heller hur jag ska veta om när jag kan försumma x och inte. Varför är det rimligt att utan antagande om att försumma x, då låta det ge poängavdrag?

Hur vet jag om att x i det här fallet kan försummas?

I din redovisade beräkning så blir 0,100 utbytt mot 100 när du går från rad 1 till rad 2.

Så det är i alla fall ett fel som påverkar din lösning.

Tack, blir lite snurrigt ibland.. Det blev rätt svar när jag ändrade det.

Men hur som helst:

Hur vet jag att x är försumbart?

Regeln är att om $$x  << X$$, där << betyder 'mycket mindre än' så kan man försumma det mindre av de två talen vid en beräkning. Huruvida det är okej beror dock på precisionen man är ute efter.

$\frac{1}{X + x} \approx \frac{1}{X}$

Även om det finns algebraiska argument så vill jag betona att man lätt minns dessa regler om man tänker rent praktiskt.

Säg att jag ska dividera med 1001

$\frac{1}{1001} = 0{,}000999$

Förhoppningsvis känns det rimligt att detta borde vara närmast exakt samma som 1/1000 = 0,001. Additionen av en extra 1:a på 1000 påverkar inte divisionen nämnvärt.

Man kan representera division på olika sätt men idén är inte mer än att om man dividerar med två olika tal som i procentuell mening är väldigt nära varandra så som

1000 och 1001

eller 0,0003 och 0,0003005

eller 3000,001 och 3001

så borde man få ungefär samma resultat. Vid division är de ledande siffrorna viktigast och de som är tre eller så positioner från den ledande påverkar inte resultaten nämnvärt.

Har man $\frac{1}{0{,}1 + x}$ och vet att x är mycket mindre än 0,1 så kan man försumma x eftersom det är som att dividera med 0,1 eller 0,100002. Det kommer inte att göra någon skillnad. Särskillt inte i pH-sammanhang där man ändå tar logaritmer av värde i slutändan.

Jag hänger med på principen, och hade jag vetat hur stort x var innan hade jag förstått att det gick att försumma. Men jag vet inte att x är mycket mindre än 0,100 innan, eftersom det är det jag räknar ut? Eller hur går det att avgöra?

Tanken är nog att bestämma det genom sammanhang snarare än alltför djup matematik. Men jag har inte fulla sammanhanget hos uppgiften. Brukar x-värden i det här sammanhanget utifrån sådana här förutsättningar bli större mindre eller lika med 0,1...?

Man kan även titta på ekvationens vänsterled för en hint. 10^-11 är jättelite. Om x ~ 0,1 så skulle vi förvänta oss ett värde som är större än 1 eftersom

x^2 / (0,1 - x) ~ 0,1^2 / (0,1 - 0,1) ~ ∞

Bara från det vet vi att x måste vara 'ganska mycket mindre än 0,1 men vi kan också se på

$2{,}7 \cdot 10^{-11} = \frac{x^2}{0{,}1 - x} > x^2$

eftersom division med tal mindre än 1 gör kvoten större än täljaren. Eftersom

$2{,}7 \cdot 10^{-11} > x^2$

direkt ger oss

$10^{-5} > x$

så kan man se att x är litet.

Jag fick bättre perspektiv på hur jag ska tänka nu, tack!

Min formulering av hur jag tänker: Är kvoten väldigt liten betyder det troligtvis att täljaren är avsevärt mycket mindre än nämnaren, och i det här fallet består täljaren av x^2 vilket ger att x måste vara väldigt litet, således blir det mycket lilla värdet på x försumbart i jämförelse med 0,100 i nämnaren.

Svara

Visa senaste svar