Förstår inte sista steget i: Bevisa satsen att deriverbarhet medför kontinuitet

Jag förstår inte sista steg i detta beivs. Hur kan vi avsluta med att säga det blir 0 alltså gäller satsen?

Här har vi definitoinen för att punkten a är kontinuerlig $\lim_{x\longrightarrow a} f(a)=f(a).$ Vi lägger till variabeln $x=a+h$ vilket gör att vi kan skriva om uttrycket med en via variabeln och multiplicerar hela uttrycket med (h/h):

$\lim_{h \longrightarrow 0} f(a+h)-f(a)$ =

= $\inf_{h\longrightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h$

Där ser vi att första faktorn går mot $f'(a)$ och andra går mot noll. Alltså får vi (genom produktlagen) att $f'(a) \cdot 0 = 0$ där med har vi visat att en deriverbar funktion uppfyller villkoret (dvs den är kontinuerlig i punkten $a.$

Jag förstår inte hur att vi får noll bevisar att det gäller? Tänker mig sig att 0 är gränsvärde och att det är därför som det gäller

Antag att $f$ är deriverbar i en punkt $x = a$ . Enligt definitionen betyder detta att $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ existerar och är lika med något ändligt tal $L$ . Notera att $\lim_{x \to a} x - a = 0$ . Enligt produktregeln för gränsvärden gäller då att

$\lim_{x \to a} f (x) - f (a) = \lim_{x \to a} (x - a) \cdot \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = 0 \cdot L = 0$ .

Alltså är $\lim_{x \to a} f (x) - f (a) = 0$ , vilket är ekvivalent med att $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .

Som ett tillägg kan man naturligtvis visa detta med derivatans $h$ -definition också:

Antag att följande gränsvärde existerar i en punkt $x$ :

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\;\;\;\left(1\right)$

Vi ser att:

$\displaystyle \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\cdot h=\lim_{h \to 0} \left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)$

Då $h \to 0$ ser vi att:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)=0\implies \lim_{h \to 0} f\left(x+h\right)=f\left(x\right)$

$\blacksquare$

Gustor skrev:
Antag att $f$ är deriverbar i en punkt $x = a$ . Enligt definitionen betyder detta att $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ existerar och är lika med något ändligt tal $L$ . Notera att $\lim_{x \to a} x - a = 0$ . Enligt produktregeln för gränsvärden gäller då att

$\lim_{x \to a} f (x) - f (a) = \lim_{x \to a} (x - a) \cdot \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = 0 \cdot L = 0$ .

Alltså är $\lim_{x \to a} f (x) - f (a) = 0$ , vilket är ekvivalent med att $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .

Stort tack!

Okej, efter att ha läst igenom det några gånger tror jag nu att jag förstår.

Förneklat tänker jag mig att vi visar att A - B = 0 vilket medför att A=B och då gäller definitionen för kontinuerligt

Ja, precis!

Svara

Visa senaste svar