Förstår inte riktigt vad boken försöker säga mig.

Det betyder helt enkelt att det bara finns ETT komplext tal az = a+bi med realldelen a och imaginärdelen b. Om man vet värdena på a och b så vet du vilket komplext tal det är (till skillnad från t ex att om du vet att x² = 9 så kan x vara antingen 3 eller -3, så om du vet att x² är 9 så vet du ändå inte säkert vilket tal det handlar om).

Ett komplext tal z kan representeras på olika sätt. En representation är x +iy det vill säga

$z = x + iy$.

Det som är väldigt bra med just den representationen av ett komplext tal är varje komplext tal har en unik representation x + iy.

Aerius skrev:

Det som är väldigt bra med just den representationen...

Om en representation inte ger unika uttryck för varje komplext tal (jag tänker på polära, men utan restriktion på vinkeln), vad är den bra för då?  Kallas det ens en representation då?

Är inte 2, 4/2 och 14/7 tre olika sätt att representera samma tal? 

Man kan definiera en ekvivalensrelation och säga att talen $e^{i\varphi}$ och $e^{i\theta}$ är ekvivalenta om $\varphi - \theta = 2 \pi n$, för något heltal $n$. Då kan man betrakta de komplexa talen som olika representanter ur samma ekvivalensklass om deras argument skiljer sig åt med t.ex. $2 \pi$. Då får vi en situation som påminner situationen vi har med de rationella talen. Exempelvis 2, 4/2, 14/7, etc... är ju på liknande vis olika representanter för samma ekvivalensklass, där två rationella tal $\frac{a}{b}$ och $\frac{c}{d}$ sägs vara ekvivalenta om $ad=bc$.

Sorry om det blev off topic men kändes ändå lite relevant för trådens frågeställning :)

Hej Exoth,

När man säger att de reella talen $x$ och $y$ bestäms entydigt av det komplexa talet $z$ säger man två saker:

1. Om man känner till $x$ och $y$ så känner man också till $z$.
2. Om man känner till $z$ så känner man till både $x$ och $y$.

• Om jag pratar om det komplexa talet $1.5+i0.76$ så känner du omedelbart till att realdelen ($x$) är $1.5$ och att imaginärdelen ($y$) är $0.76$.
• Om jag skriver om det komplexa talet som har realdelen $3.14$ och imaginärdelen $2.72$ så vet du omedelbart att det handlar om det komplexa talet $z=3.14+i2.72$. 

Sedan har jag en invändning till din boks sätt att visa att om $x_1+iy_1 = x_2+iy_2$ så måste $x_1=x_2$ och $y_1=y_2$; med andra ord, två komplexa tal är lika endast om deras realdelar är lika samtidigt som deras imaginärdelar är lika.

Ett enklare sätt är att studera differensen av de två komplexa talen:

    $(x_1+iy_1)-(x_2+iy_2) = (x_1-x_2)+i(y_1-y_2) = 0+i0.$ 

Absolutbeloppet (eller modulen) till det komplexa talet $0+i0$ är lika med 0, vilket ger resultatet

    $(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 = 0$.

Det enda sättet för denna summa att vara noll är om båda termer är lika med 0, med andra ord $x_1=x_2$ och $y_1=y_2$.