Förstår inte riktigt faciten

Daja skrev :

Jag har ritat på miniräknare y=sinx och y=bx och såg att när b är större en a dom bara möts i origo (men jag förstår inte logiken bakom det)

Sinuskurvans derivata är a*cos(ax). Därför har kurvan lutningen a*cos(a*0) = a i origo. Om nu b < a så kommer y = bx att skära sinuskurvans på fler ställen än bara i origo. Pröva med att lägga en linjal genom origo så att den endast skär sinuskurvans i en punkt så det du att lför att det ska gå måste lutningen måste vara större än eller lika med sinuskurvans lutning i origo.

Och för 3 lösningar är jag inte med faciten. Alltså jag ser att det stämmer men kan ni förklara lite bättre varför precis för en femte del av perioden vi har en tredje lösning, och varför $\frac{2a}{5\mathrm{\pi }}<b<a$?

Enligt a-uppgiften måste b < a för att linjen ska skära sinuskurvan på fler än ett ställe.

Om du lägger linjalen genom origo så att den skär sinuskurvan på exakt tre ställen så kommer den att tangera sinuskurvan i punkterna x = 5T/4 och x = -5T/4, där T är perioden 2pi/a. Dvs vid andra vågtoppen efter origo och andra vågdalen innan origo.

Lutningen blir då delta-y/delta-x = 2/(5T/4 - (-5T/4)) = 2/(10T/4) = 8/(10T) = 4/(5T).

Eftersom perioden är 2pi/a så blir gränslutningen 4/(5*2pi/a) = 4a/(10pi) = 2a/(5pi).

En fundering bara: står det nånstans i uppgiften att $x \geq 0$ ? Annars finns det ju skärningar mellan kurvorna för $x <0$.

tomast80 skrev :

En fundering bara: står det nånstans i uppgiften att $x \geq 0$ ? Annars finns det ju skärningar mellan kurvorna för $x <0$.

Ja de två skärningarna är med.

Linjen tangerar (men skär inte) sinuskurvans i de två punkter jag angav.

Wow första delen är mycket bättre forklarat. Andra delen också. ... förstår jag nästan...

Hur vet du för -5T/4?

Om vi tar lutningen på tangenten, får jag:

$\frac{y2-y1}{x2-x1}=\frac{{\displaystyle \frac{5T}{4}-0}}{\sin {\displaystyle \frac{{\displaystyle 5T}}{4}}{\displaystyle -}{\displaystyle 0}}$

Och borde det inte vara en till svar med kurvan som skär sinkurvan under x axeln?

Daja skrev :

Wow första delen är mycket bättre forklarat. Andra delen också. ... förstår jag nästan...

Hur vet du för -5T/4?

Det är helt (anti)symmetriskt för x < 0.

Rita så får du se.

Och borde det inte vara en till svar med kurvan som skär sinkurvan under x axeln?

Nej. 

För lutningar < 0 så blir det 1, 5, 9, 13 o.s.v skärningar.

För lutningar > 0 då blir det 1, 3, 7, 11 o.s.v. skärningar.

I båda fallen gäller att ju närmare 0 lutningen är, desto fler skärningar blir det.

Rita och övertyga dig själv om det!

Ok Yngve jag börjar att se the light, men inte tillräkligt. Jag tror att det börjar på att jag missförstådd när förklarade k värde. Men ok då, y=2 och x börjar vid -5/4T och dras till 5/4T. Så det blir 4/5T. Och efter det delar du k faktor (4/5T) med 2pi/a och för att ... anpassa den till situationen?? 

Jag har ritat den andra alternativ:

Funkar det inte som 3 lösning på perioden 2pi/a?

Frågan gäller inte antal lösningar i ett specifikt intervall, utan överhuvudtaget, dvs på hela R.

Och där har du 5 lösningar i undre figuren.

Daja skrev:

Ok Yngve jag börjar att se the light, men inte tillräkligt. Jag tror att det börjar på att jag missförstådd när förklarade k värde. Men ok då, y=2 och x börjar vid -5/4T och dras till 5/4T. Så det blir 4/5T. Och efter det delar du k faktor (4/5T) med 2pi/a och för att ... anpassa den till situationen??

Jag dividerar inte k-värdet med 2pi/a utan jag ersätter T med 2pi/a i uttrycket för k.

Så här: 

Du ska beräkna en rät linjes lutning $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Jag väljer de två  punkterna $\left(-\frac{5T}{4}, -1\right)$ och $\left(\frac{5T}{4}, 1\right)$.

Det betyder att $\Delta y=1-(-1)=2$ och $\Delta x=\frac{5T}{4}-\left(-\frac{5T}{4}\right)=\frac{10T}{4}=\frac{5T}{2}$

Alltså är $k=\frac{2}{{\displaystyle \frac{5T}{2}}}=\frac{4}{5T}$

Om perioden T:

• En sinusfunktion sin(x) har perioden 2pi.
• En sinusfunktion sin(3x) har perioden 2pi/3.
• En sinusfunktion sin(ax) har alltså perioden 2pi/a.

Vi har alltså att perioden $T=\frac{2\pi }{a}$ 

Om vi ersätter T med detta i uttrycket för k så får vi att $k=\frac{4}{5\mathit{T}}=\frac{4}{5·{\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{a}}}}=\frac{4a}{10\pi }=\frac{2a}{5\pi }$ 

Jag tror att det är svårt att göra pedagogiskare än så Yngve. Jag är super-med! Tack!

Hej Daja!

Oavsett vilka (de nollskilda) talen a och b är så har ekvationen alltid lösningen x = 0. 

Om $x$ inte är lika med noll så kan du dividera ekvationen med talet $ax$. 

    $\displaystyle \frac{\sin ax}{ax} = \frac{b}{a}$. 

Nu gäller det att studera funktionen  

    $\displaystyle f(y) = \frac{\sin y}{y}\ , \quad y \neq 0$.

Om du ritar upp funktionens graf över intervallet $-10 \leq y \leq 10$ så ser du följande saker, där jag för enkelhets skull antar att kvoten $b/a$ är positiv.

Om kvoten $b/a > 1$ så saknar ekvationen $f(y) = b/a$ lösning.

Om $b/a = 1$ så har ekvationen $f(y) = b/a$ en enda lösning.

Om $0.128375 < b/a < 1$ så har ekvationen $f(y) = b/a$ två lösningar.

Resultat: Om kvoten $b/a > 0$ så gäller det att ekvationen $\sin ax = bx$ har en lösning om $b/a > 1$, och ekvationen har tre lösningar om $0.128375 < b/a < 1$; kom ihåg att $x = 0$ alltid är en lösning.

Albiki skrev :

Hej Daja!

Oavsett vilka (de nollskilda) talen a och b är så har ekvationen alltid lösningen x = 0. 

Om $x$ inte är lika med noll så kan du dividera ekvationen med talet $ax$. 

    $\displaystyle \frac{\sin ax}{ax} = \frac{b}{a}$. 

Nu gäller det att studera funktionen  

    $\displaystyle f(y) = \frac{\sin y}{y}\ , \quad y \neq 0$.

Om du ritar upp funktionens graf över intervallet $-10 \leq y \leq 10$ så ser du följande saker, där jag för enkelhets skull antar att kvoten $b/a$ är positiv.

Om kvoten $b/a > 1$ så saknar ekvationen $f(y) = b/a$ lösning.

Om $b/a = 1$ så har ekvationen $f(y) = b/a$ en enda lösning.

Om $0.128375 < b/a < 1$ så har ekvationen $f(y) = b/a$ två lösningar.

Resultat: Om kvoten $b/a > 0$ så gäller det att ekvationen $\sin ax = bx$ har en lösning om $b/a > 1$, och ekvationen har tre lösningar om $0.128375 < b/a < 1$; kom ihåg att $x = 0$ alltid är en lösning.

Vad roligt jag har precis läst nåt om hur viktigt det är med funktionen $\frac{\sin x}{x}$ på Better Explained. Känns att det måste grävas vidare...

En till fråga, 0.128375 motsvarar inte $\frac{2}{5\mathrm{\pi }}$ (som verkar vara 0.12732395447 ?). Och en till fråga, varför $\frac{2}{5\mathrm{\pi }}$ en rationell tal när pi är irrationell??

Hej!

Funktionen f(x) = sin(x) / x kallas för Sinc-funktionen, och är ofta förekommande inom Fourieranalys och inom Signalbehandling.

Den som påstår att talet 2/(5pi) är rationellt har fel.

Albiki

Det är hemsida som jag länkade som verkar visa en rationell tal.

Något link för Sincfuntion för dummies :)?

Men visst hittar ni inte samma svar med Yngve?

$\frac{2}{5\mathrm{\pi }}$ är ett irrationellt tal, vars värde är ungefär  0,12732395447 . 

0,12732395447  ( = 0,1273239544700000000000000000000000000000) är ett rationellt tal, som exempelvis kan skrivas som $\frac{ 12732395447 }{100 000 000 000}$.

Kolla Alibiki hittar 0.128375, Yngve 2pi/5. 

Ah shmutts jag tror Alibiki svarade angående 2 lösningar... Det är därför 

Daja skrev :

Kolla Alibiki hittar 0.128375, Yngve 2pi/5. 

Ah shmutts jag tror Alibiki svarade angående 2 lösningar... Det är därför 

Nej ekvationen har aldrig två lösningar, oavsett värdet på a och b, se mitt tidigare svar ang. positiva resp negativa lutningar på linjen y = bx.

Men han skrive såhär:

Om du ritar upp funktionens graf över intervallet −10≤y≤10 så ser du följande saker, där jag för enkelhets skull antar att kvoten b/ab/a är positiv.

Om kvoten b/a>1 så saknar ekvationen f(y)=b/a lösning.

Om b/a=1 så har ekvationen f(y)=b/a en enda lösning.

Om 0.128375<b/a<1 så har ekvationen f(y)=b/a två lösningar.

Albiki skrev :

 

...

Om $0.128375 < b/a < 1$ så har ekvationen $f(y) = b/a$ två lösningar.

Resultat: Om kvoten $b/a > 0$ så gäller det att ekvationen $\sin ax = bx$ har en lösning om $b/a > 1$, och ekvationen har tre lösningar om $0.128375 < b/a < 1$; kom ihåg att $x = 0$ alltid är en lösning.

Observera att Albiki i första meningen pratar om ekvationen f(y) = b/a. Denna ekvation har två lösningar givet villkoret. Funktionen f(y) är odefinierad i origo.

Origo är den tredje lösningen till ursprungsekvationen sin(ax) = bx, vilket också framgår i Albikis inlägg (min fetmarkering i citatet ovan).

Ni alla har märkt att jag var väldigt trög... så det är inte som att jag har nåt reputation skvar att skydda. Så jag vågar fråga en gång till:

Hur kommer det sig att ni kommer till 2 olika lösningar till uppgiften?

Vi har första lösning i origo, och efter Alibiki säger 0.128375 < b/a < 1 (som måste vara samma som b < a < 1 ? och du har 0.12732395 < b < a ?

Och vad med sinc funktion? Jag har kollat några video om den, det verkar ganska straightforward. Men varför behöver vi den till?

Daja skrev :

Ni alla har märkt att jag var väldigt trög... så det är inte som att jag har nåt reputation skvar att skydda. Så jag vågar fråga en gång till:

Hur kommer det sig att ni kommer till 2 olika lösningar till uppgiften?

Vi har första lösning i origo, och efter Alibiki säger 0.128375 < b/a < 1 (som måste vara samma som b < a < 1 ? och du har 0.12732395 < b < a ?

Och vad med sinc funktion? Jag har kollat några video om den, det verkar ganska straightforward. Men varför behöver vi den till?

Det är lugnt Daja, fråga på du bara. Det är bra att du är envis och att du verkligen vill förstå.

Och det var bra frågor. Men jag har tyvärr inga bra svar.

Jag tycker fortfarande att min uträkning stämmer och är lättare att förstå än Albikis.

Den stämmer med bocken iaf :), och jag fattade delta y/ delta x, och efter detta ersättning av perioden med 2pi/a. Jag kan till o med förklara det för någon annan :)

Utan att rita kurvorna, hur kom ni fram till att det är just x=(+-)5T/4 som bx tangerar sinuskurvan??