Förstår inte min egen matris :) (lätt uppgift!)

God morgon!

Jag hade följande uppgift, som jag kunde inte lösa fullständigt för att jag fattar inte vad jag machinerade (jag tror att jag är inte au clair med linjära kombinationer)

a) ger oss vektorer:

${\overset{⇀}{M M}}_{1} = - \frac{1}{2} {\overset{⇀}{O A}}_{2} {\overset{⇀}{M M}}_{2} = - \frac{1}{2} {\overset{⇀}{O A}}_{1} {\overset{⇀}{M M}}_{3} = - \frac{1}{2} {\overset{⇀}{O A}}_{1} - \frac{1}{2} {\overset{⇀}{O A}}_{2} + \frac{1}{2} {\overset{⇀}{O A}}_{3}$

b) För den linjära kombination $x M M_{1} + y M M_{2} + z M M_{3} = O A_{1} + 10 O A_{2} + 100 O A_{3}$

har jag tryckt dessa i två kolon vektor framför en tre ggr tre matris, som skulle mig resultat:

$(\begin{matrix} ? \\ ? \\ ? \end{matrix}) (\begin{matrix} - \frac{1}{2} O A_{2} \\ - \frac{1}{2} O A_{1} \\ - \frac{1}{2} O A_{1} - \frac{1}{2} O A_{1} + \frac{1}{2} O A_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 10 \\ 100 \end{matrix})$

Påfyllning av detta matris ger mig:

$(\begin{matrix} 0 & - 2 & 0 \\ - 20 & 0 & 0 \\ - 200 & - 200 & 200 \end{matrix})$

Om jag plussar nu kolonner i detta matris ger det något som stämmer med svaren ( $x = - 220, y = - 202, z = 200$ ), men problemet är att jag kunde inte tolka det när jag såg matrisen. Jag visste inte om jag behövde plussa rader eller kolonner, eller om jag behövde plussa för att vara helt ärligt.

Är det någon som orkar gå igenom linjära kombinationer med mig en gång till?

Dessutom finns det två andra saker till i faciten jag är inte riktigt med:

1. De har inlett en koordinat system med dem tre basvektorerna (som jag trodde var otillåten när det är inte en ONbas?) och satt koordinaterna för punkt M till $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ . Hur ser man det?

2. Jag förstår inte stegen från linjär kombination till ekvationssystem (samma fråga som vad jag inte förstår i min egen lösning :D)

Guggle är du här 😭?

dajamanté skrev: ${\overset{⇀}{M M}}_{1} = - \frac{1}{2} {\overset{⇀}{O A}}_{2} {\overset{⇀}{M M}}_{2} = - \frac{1}{2} {\overset{⇀}{O A}}_{1} {\overset{⇀}{M M}}_{3} = - \frac{1}{2} {\overset{⇀}{O A}}_{1} - \frac{1}{2} {\overset{⇀}{O A}}_{2} + \frac{1}{2} {\overset{⇀}{O A}}_{3}$

Jag tror du blir lite förvirrad av beteckningarna, om jag döper om $MM_1...MM_3$ till $\mathbf{f}_1..\mathbf{f_3}$ och $OA_1..OA_3$ till $\mathbf{e}_1..\mathbf{e3}$ ser det ut så här:

$\begin{matrix}\mathbf{f}_1&=&0\mathbf{e}_1-\frac{1}{2}\mathbf{e}_2+0\frac{1}{2}\mathbf{e}_3\\ \mathbf{f}_2&=&-\frac{1}{2}\mathbf{e}_1-0\mathbf{e}_2+0\mathbf{e}_3\\ \mathbf{f}_3&=&-\frac{1}{2}\mathbf{e}_1-\frac{1}{2}\mathbf{e}_2+\frac{1}{2}\mathbf{e}_3 \end{matrix}$

Nu skulle du utan tvekan kunna ställa upp en T för ett basbyte mellan $\mathbf{e}$ och $\mathbf{f}$ här, eller hur?

b) För den linjära kombination $x M M_{1} + y M M_{2} + z M M_{3} = O A_{1} + 10 O A_{2} + 100 O A_{3}$

Det här är en vektorekvation som ser ut så här:

$x \begin{pmatrix}0\\-\frac{1}{2}\\0\end{pmatrix}_{\mathbf{e}}+y \begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\0 \\0\end{pmatrix}_{\mathbf{e}}+z \begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}_{\mathbf{e}}=\begin{pmatrix}1\\10\\100\end{pmatrix}_{\mathbf{e}}$

Skriver du ut rad för rad och ser du snart att detta är exakt samma sak som

$\begin{pmatrix}0 & -1/2 &-1/2\\ -1/2 &0 &-1/2\\ 0& 0& 1/2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\10\\100 \end{pmatrix}$

Det är alltså ett ekvationssystem, 3x3, som du kan lösa med en totalmatris och Gausseliminering!

Ett annat sätt att se på saken är att du vill genomföra koordinatbytet $x'=T^{-1}x$

$T^{-1}x=\begin{bmatrix}0 & -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2} & 0&-\frac{1}{2}\\0 & 0&\frac{1}{2} \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}1 \\ 10 \\ 100 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -2&-2\\-2 & 0&-2\\0 & 0&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 10 \\ 100 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}220 \\ 202 \\ 200 \end{bmatrix}$

Dessutom finns det två andra saker till i faciten jag är inte riktigt med:
1. De har inlett en koordinat system med dem tre basvektorerna (som jag trodde var otillåten när det är inte en ONbas?) och satt koordinaterna för punkt M till $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ . Hur ser man det?

Man får ha andra baser än ON-baser.

Den finaste basen heter ONH-bas och står för en högerorienterad bas (ortonormerat högersystem). I den har basvektorerna längden 1 och är parvis ortogonala. Dessutom ligger alla basvektorer i rätt ordning så kryssprodukten ger karusell.

Den näst finaste basen heter ON-bas. I den har basvektorerna längden 1 och är parvis ortogonala. Men de behöver inte ge karusell med rätt tecken.

En skräpbas är en bas som spänner rummet eller planet (dvs är linjärt oberoende) men där basvektorerna varken har längden 1 eller är ortogonala. Basen i den här uppgiften är en skräpbas. Transformationsmatrisen för en skräpbas är INTE ortogonal och därför är $T^{-1}\neq T^T$ .

Punkten M får vi genom att ställa oss i punkten $A_1$ och sedan gå halva vektorn mellan $A_2$ och $A_1$ , dvs $M=\vec{A_1}+\frac{1}{2}(\vec{A_2}-\vec{A_1})=\frac{1}{2}\vec{A_1}+\frac{1}{2}\vec{A_2}$ . Om vi utnyttjar beteckningarna med basen $\mathbf{e}$ som vi introducerade ovan står det alltså

$\frac{1}{2}\mathbf{e_1}+\frac{1}{2}\mathbf{e_2}+0\frac{1}{2}\mathbf{e_3}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0 \right)_{\mathbf{e}}$

Oj!

tack

Det var mycket bra förklarat som alltid.

När du skriver att det är en basbyte mellan e och f, du menar att matrisen i bas e är från f till e va??

Sorry för uppsatning, jag är på telefonen...

Svara

Visa senaste svar