Förstår inte hur man ska kunna koppla de två ekvationerna

Man behöver uttrycka $\vec{P_1M}$ m.h.a. vektorerna u, v, w för att sedan kunna uttrycka volymen av den mindre tetraedern m.h.a. determinanten och därmed volymen av ursprungstetraedern.

$\vec{P_1M}=\vec{OM}-\vec{OP_1}=\frac14(\vec{OP_1}+\vec{OP_2}+\vec{OP_3}+\vec{OP_4})-\vec{OP_1}\\ =\frac14\vec{OP_2} + \frac14 \vec{OP_3} + \frac14 \vec{OP_4} - \frac34 \vec{OP_1} \\ = \frac14 (\vec{OP_2} - \vec{OP_1}) + \frac14 (\vec{OP_3} - \vec{OP_1}) + \frac14 (\vec{OP_4} - \vec{OP_1}) \\ = \frac14 (u+v+w)$.

Volymen av den mindre tetraedern är alltså

$V=\frac16\left|det(\begin{array}{c}(u+v+w)/4\\\cdots\;u\;\cdots\\\cdots\;v\;\cdots\end{array})\right|=\frac14\cdot\underbrace{\frac16\left|det(\begin{array}{c}\cdots\;w\;\cdots\\\cdots\;u\;\cdots\\\cdots\;v\;\cdots\end{array})\right|}_{=1}=\frac14$

Tack så mkt