Förstår inte hur man kommer fram till att primitiva funktionen av lnx(lnx)' är 1/2(lnx)^2+lnC?

Om du gör en partialintegration på en integrand av typen ff' får du tillbaks samma integral igen, med negativt tecken:

$\displaystyle \int f(x)f'(x)dx = [f(x)f(x)] - \int f'(x)f(x) dx$

Samla integralerna i vänsterledet:

$\displaystyle 2 \int f(x)f'(x)dx = [f(x)f(x)]$

Och halvera sen. Och f(x)f(x) är ju bara $f(x)^2$. Sen är ln(C) bara en konstant, jag antar att de väljer dit ett ln bara för att få ut ett "rent" C till y:et.

Derivera $\frac{1}{2}(\ln x)^2$ med kedjeregeln.

Hej,

Notera att beteckningen $\ln x(\ln x)^\prime$ är en produkt av faktorerna $\ln x$ och dess derivata $(\ln x)^{\prime}$, och inte funktionen $\ln$ applicerad på produkten $x\cdot(\ln x)^{\prime}$.

Skaft visar att detta problem är ett exempel på en generell typ av integral:

    $\displaystyle\int f\left(x\right) \cdot f^{\prime}\left(x\right) \,dx$

där $f^\prime(x)$ betecknar derivata till funktionen $f(x)$. Som Skaft skrivit är integralen samma sak som funktionerna

    $\displaystyle\frac{\left(f\left(x\right)\right)^2}{2} + C$.

Exempelvis är

    $\displaystyle\int e^x \cdot e^x\,dx = \frac{\left(e^{x}\right)^2}{2}+C = \frac{e^{2x}}{2}+C$

och

    $\displaystyle\int \sin x \cdot \cos x\,dx = \frac{\left(\sin x\right)^2}{2}+C$

samt såklart

    $\displaystyle\int x \cdot 1\,dx = \frac{x^2}{2} + C$.