Förstår inte hur lösningen fås fram i differentialekvationen

Hej, jag har haft lite problem med att förstå hur lösningen tas fram från differentialekvationen på hemsidan jag länkat.

https://www.et.byu.edu/~wheeler/benchtop/flight.php

Jag förstår inte hur han för sig vidare efter att ha integrerat på båda sidor. All hjälp uppskattas! Tack i förhand! : )

Välkommen till Pluggakuten!

Det är större chans att du får hjälp om du lägger upp en bild av din uppgift, eller skriver av den ord för ord.

Så det är under rubriken "The coasting phase" som är oklart? Vi hade uttrycket:

$\frac{1}{g} \frac{d v}{d t} = - 1 \pm {(\frac{v}{v_{t}})}^{2}$

Där vi ganska enkelt kan separera alla variabler och dess differentialer (dv, dt), när vi gör det och integrerar båda sidorna så får vi följande:

$\int \frac{1}{1 \pm {(\frac{v}{v_{t}})}^{2}} d v = \int - g d t$

Där v är vår beroende variabel, v_t och g är konstanter och t är vår oberoende.

Integralen på VL kan vi lösa relativt enkelt om vi bara antar det positiva värdet på ${(\frac{v}{v_{t}})}^{2}$ , om det är negativt så blir integralen mycket svårare. Uttrycket liknar ganska mycket en standardintegral, dvs $\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \tan^{- 1} (x) + C$ Så om vi gör följande u-substitution:

$\{\begin{cases} u^{2} = (\frac{v^{2}}{{v^{2}}_{t}}) \Rightarrow u = \frac{v}{v_{t}} \\ d u = \frac{1}{v_{t}} d v \Rightarrow d v = v_{t} d u \end{cases}$

Då får vi följande integral istället:

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} v_{t} d u = v_{t} \tan^{- 1} (u) + C = v_{t} \tan^{- 1} (\frac{v}{v_{t}}) + C$

Integralen på HL blir helt enkelt $- g t + C$ , vi kan även kombinera C på VL och HL till en enda godtycklig konstant C. Så nu har vi:

$v_{t} \tan^{- 1} (\frac{v}{v_{t}}) = - g t + C \Rightarrow \tan^{- 1} (\frac{v}{v_{t}}) = \frac{- g t + C}{v_{t}} \Rightarrow \frac{v}{v_{t}} = \tan (\frac{- g t + C}{v_{t}}) \Rightarrow v = v_{t} \tan (\frac{- g t + C}{v_{t}})$

Så vi får svaret $v (t) = v_{t} * \tan (\frac{- g t + C}{v_{t}})$ vilket ser ganska likt ut det de fick på hemsidan också, däremot så skiljer det åt lite i täljaren inuti tan, på hemsidan så skrev de t som $t_{a p} - t$ istället och definerade $t_{a p}$ som någon initialtid $t_{0}$ plus en massa andra saker, och g är positiv (antagligen för att detta är intervallet då raketen startar och åker upp till sin maxhöjd, dvs $t_{0} \leq t \leq t_{a p}$ , jag förstod inte riktigt det steget, men förutom det så är lösningarna typ identiska.

Svara