Förstår ej varför dessa 2 gränsvärden går mot 1.

Hej! Vår föreläsare gick igenom ett par uppgifter och i dessa ingick det två gränsvärden som ska gå mot 1. Men jag förstår inte hur man ser att de ska gå mot 1. För mig blir de "obestämda uttryck" som man inte kan säga något om. Jag vill gärna förstå. Är det att en exponentialfunktion växer mycket snabbare än vilken potensfunktion som helst?
Jag har skrivit ner de två gränsvärdena på mitt papper i bilden och hur jag har resonerat:

Tack så mycket.

Man kan säkerligen resonera i termer om vad som "växer snabbast". I det första gränsvärdet ser man exempelvis att $\displaystyle 1/(2\cdot 3^k)$ går mot $0$ extremt mycket snabbare än vad $k$ går mot oändligheten, så man kan åtminstone förvänta sig att gränsvärdet går mot ett.

Men i princip har du rätt; formen $\displaystyle \infty^0$ är obestämd, det kan bli lite vad som helst. Jämför med gränsvärdet nedan:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x$

Många icke-erfarna drar slutsatsen att detta gränsvärde går mot $1^\infty = 1$ , men det går som bekant mot $e$ . $1^\infty$ är en annan obestämd form.

Tack så mycket!

Svara