Förstår ej hur funktionen förenklas/Gränsvärden

De skriver om nämnaren som

x + x^2 = x(1 + x)

Att sedan beräkna gränsvärdet

sin(2x)/x 

när x går mot 0 med l'Hospital får ses som en "fuling", eftersom derivatan förutsätter att gränsvärdet för sin(x)/x är känt. 

Jag är ingen större vän av l’Hospitals regel. Den kan ibland vara till någon nytta, men de flesta gränsvärden kan man lika gärna räkna ut på andra sätt. Så jag undviker l’Hospital. Men smaken är ju som bekant delad.

Ditt gränsvärde:

$\dfrac{\sin 2x(1-x^2)}{x+x^2}$(konjugatregel, faktorisering) :

$\dfrac{\sin 2x(1-x)(1+x)}{x(1+x)}=\dfrac{\sin 2x(1-x)}{x}$

Standardgränsvärde i andra faktorn nedan:

$(1-x)\cdot \dfrac{\sin 2x}{{\color{red}2}x}\cdot {\color{red}2}\rightarrow 2$ då $x\rightarrow 0$.