Förstår ej detta beviset - om a är ett nollställe till p(z), är även dess konjugat ett nollställe

Det finns inget i beviset som kräver att nollstället måste vara reellt. Det koefficienterna i polynomet som skall vara reella, och det uppfylls ju i exempel 6.16.

PATENTERAMERA skrev:

Det finns inget i beviset som kräver att nollstället måste vara reellt. Det koefficienterna i polynomet som skall vara reella, och det uppfylls ju i exempel 6.16.

Jaha, ack! Fick ta en rejäl titt igen. Blandade ihop att de använder $a_i$för koefficienterna och a^k för nollställena. Nu är resonemanget mer begripligt. Tack.

Nja, a är tydligen ett nollställe, och $a^k$ är a upphöjt till k, som det brukar vara. 

Laguna skrev:

Nja, a är tydligen ett nollställe, och $a^k$ är a upphöjt till k, som det brukar vara. 

Menar de inte att $a_i$är koefficienterna till polynomet p(z),

och $a^k$är värdet på z då a sätts in i p(z)? Tänker mest då på den översta bilden där de säger att $a_i$är reellt.

Alla a:n är reella koefficienter. Nollstället (som är komplext) är ett $\alpha$, men typsnittet gör det väldigt likt ett a. Ser man inte skillnaden kan man använda att koefficienterna är de med nedsänkta index, $a_i$, medan nollstället inte har något index. 

Hej,

Beviset som presenterats i din bok är maximalt förvirrande; om polynomets koefficienter betecknas $a_k$ så ska man välja en beteckning för polynomets rötter som är vilken symbol som helst så länge den inte liknar bokstaven $a$. Författaren har valt grekiska bokstaven $a$ som typografiskt nästan är identisk med $a$;

    jämför $\alpha$ med $a$.

Beviset kan göras mycket kortare än bokens.

Om $z$ är en rot så är $p(z) = 0$. Då kan man skriva $\overline{p(z)}=\bar{0}$ och eftersom polynomets koefficienter är reella tal gäller det att

    $\overline{p(z)}=p(\bar{z})$

så att $p(\bar{z})=\bar{0}=0$ vilket visar att även $\bar{z}$ är en rot.

Albiki skrev:

Hej,

Beviset som presenterats i din bok är maximalt förvirrande; om polynomets koefficienter betecknas $a_k$ så ska man välja en beteckning för polynomets rötter som är vilken symbol som helst så länge den inte liknar bokstaven $a$. Författaren har valt grekiska bokstaven $a$ som typografiskt nästan är identisk med $a$;

    jämför $\alpha$ med $a$.

Beviset kan göras mycket kortare än bokens.

Om $z$ är en rot så är $p(z) = 0$. Då kan man skriva $\overline{p(z)}=\bar{0}$ och eftersom polynomets koefficienter är reella tal gäller det att

    $\overline{p(z)}=p(\bar{z})$

så att $p(\bar{z})=\bar{0}=0$ vilket visar att även $\bar{z}$ är en rot.

Hej,

Tack, då kan jag ta en lugnande pust med vetandet att jag inte är ensam om att bli förvirrad!

Så om jag förstått säger beviset att konjugatet av 0 är 0, och eftersom konjugatet av hela uttrycket är det samma som om bara z är ett konjugat pga reella koefficienter så kan vi skriva hela det originella uttrycket under ett konjugattecken som då blir $\overline{0}$. 

En betydligt rörigare summering än den du gjorde, men ungefär så tankegången låter i mitt huvud just nu. Finns där något vett i det jag säger? :)

Knugenshögra, du har grönmarkerat tråden och därmed markerat att du inte behöver mer hjälp, men det ser ut som om du har frågor som inte är besvarade. Om du vill öka chansen att få mer hjälp, kan du ta bort grönmarkeringen. /moderator

Hej,

Du vet att komplexa talet $2+i$ är ett nollställe till polynomet $p$, vilket betyder att du kan skriva

    $p(z) = (z-(2+i))\cdot q(z)$

där $q$ betecknar ett polynom av grad 3. Enligt Sats 6.4 kan du dra slutsatsen att komplexa talet $2-i$ också är ett nollställe till polynomet $p$ vilket betyder att du kan skriva

    $p(z) = (z-(2+i))\cdot(z-(2-i))\cdot r(z)$

där $r$ betecknar ett polynom av grad 2; för att finna polynomet $r$ dividerar du polynomet $p$ med polynomet $(z-(2+i))\cdot(z-(2-i))=z^2-4z+5$.