Förstår ej denna notation.

1. 1. Bokstaven C står för Continous= kontinuerlig

2. [a,b] står för det Slutna intervallet {x:a<=x<=b}
3. Vill man istället ha öppet intervall skriver man ]a,b[

4. C[a,b] är således (som du redan rätt uppfattat) =Mängden av kontinuerliga funktioner på det slutna intervallet [a,b]

5. Slå upp begreppet Skalärprodukt (brukar också kallas Inre Produkt).

6. I uppgiften som du frågar om är det funktionerna tillhörande C[-pi,pi] som är vektorerna och C[-pi,pi] är det lineära rummet av dessa vektorer. Du ska visa att det givna integraluttrycket uppfyller alla kraven som du slog upp i punkt 5.

Hej, tusen tack för svar. Då förstår jag den notationen. Jag tror mig ha en aning om vad inre produktrum är, det är en funktion i vilken man stoppar in två element u och v som tillhör vektorummet och får ut ett tal, och funktionen ska vara symmetrisk, linjär i första variabeln samt positivt definit.

Jag resonerade som så att det inte var en skalärprodukt eftersom man stoppar in tre funktioner istället för två, nämligen g(x), f(x) och sin(x). 
Svaret var att den inte är en inre produkt, men av den anledningen (förstår ej varför?) och istället av den här anledningen:

vilket jag inte riktigt förstår, man låter f vara 2 och så försvinner g och f från integranden bara sådär? och kvar får man integralen av sin x från -pi till pi.
Konstanter kan man bryta ut, så jag antar att man bryter ut 2, men vad hände med g?

De sätter g=f=konstant 1 (det är inte en tvåa, utan en etta).

För ett sådant val av två funktioner får man att $\langle 1, 1 \rangle = 0$, vilket strider mot kravet att skalärprodukten är positivt definit. (Man ska få ett positivt tal när nollskilda $f=g$ sätts in i skalärprodukten.)

Notera också att även om $\sin \left(x\right)$ råkar vara en del av definitionen av $\langle f, g \rangle$ så är det bara $f$ och $g$ som är argument. Definitionsmängden är alltså $C[-\pi , \pi ]\times C[-\pi , \pi ]$.

Åh, jag förstår. Tack för hjälpen!