Förståelse kring egenvärden & egenvektorer

Hej! 
Jag hänger med på hur egenvärden och egenvektorer kan tolkas från ekvationen $A\overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}$. λ är ett egenvärde till A och $\overrightarrow{x}$ är en egenvektor till A om och endast om ekvationen ovan uppfylls. Sedan förstår jag hur man kan m.h.a determinanträkning av den karakteristiska ekv. få fram olika egenvärden. Varje egenvärde kan ibland kopplas till oändligt många egenvektorer (t.ex. $\lambda =1 ger$ $t\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$) . Det jag inte förstår är hur man ska tolka detta. Kändes så självklart i början hur allt hängde ihop men nu kan varje egenvärde kopplas samman till oändligt många egenvektorer. Om man med helt påhittade siffror säger detta:
$\lambda =1 ger t\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) och \lambda =3 ger t\left(\begin{array}{c}5\\ 9\end{array}\right)$, vad säger oss då talen 1 och 3? 

Har ett exempel som säger så här:
"Försöka att ur beskrivningen bedöma vilka egenvärden och egenvektorer  $T:{\mathrm{ℝ}}^2\to {\mathrm{ℝ}}^2$bör ha om T fördubblar måtten i x-led men låter y-led vara oförändrat".

Jag har tagit fram matrisen för avbildningen: $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ och kan härifrån ta reda på egenvärdena som sedan ger egenvektorerna m.h.a karakteristiska ekv. Men hur ska jag tänka kring det kursiverade exemplet ovan? Kan man avläsa något direkt från texten?

Flummade antagligen iväg lite men tror ni hajar vad det är jag inte förstår riktigt. Man kan slaviskt följa formler men vad är det jag egentligen gör?