förståelse av en anmärkning till likformig konvergens
I min litteratur kan man hitta följande sats
följt av denna sats hittar man en anmärkning som jag har svårt att förstå
jag förstår inte påståendet att det ska vara en skillnad mellan att konvergensen är likformig i ]-R, R[ och att den ska vara likformig i varje intervall [-S, S] där .
Om den är likformig i ]-R, R[ så tänker jag att R > S > -R
Om den är likformig i [-S, S] där S∈[-R, R], så tänker jag exakt samma sak att R > S > -R och mängden
{R > S > -R} = {R > S > -R}? Det är slutsatser jag drar som inte är så uppenbara för mig här...?
All hjälp uppskattas!
Medans jag skrev det här så började något klarna för mig, jag skriver detta i ett separat inlägg för att inte förvirra. I det första påståendet kan det vara en öppen mängd ]-S, S[ och i det andra påståendet så säger dom att det är en stängd mängd [-S, S], är detta korrekt?
Det är det senare du skriver som är avgörande. Detta beror på att den slutna mängden är en delmängd av konvergensskivan (=den mängd som innesluts av konvergenscirkeln), vilket medför att den begränsad. En sluten och begränsad delmängd S av C är kompakt. Potensserien konvergerar absolut på S. Det sökta resultatet följer då av Weierstrass majorantsats.
