Förståelse av 1-1 mapping, Rudin

Om inget annat anges gäller att en funktion avbildar HELA A  IN I B dvs f(A) är en delmängd av B. Det behöver således inte alltid finnas något element i A som avbildas på ett givet element i y. Detta hindrar inte att f kan vara 1-1. Om du skärper definitionen så som du angett så blandar du ihop

-begreppet att en funktion f är "på" dvs varje element i B har en urbild i A (det kallas för att fknen är SURJEKTIV)

med

begreppet att fknen är 1-1 (vilket kallas för att fknen är INJEKTIV).

De två begreppen är oberoende av varandra. 

Rudins definition av 1-1 verkar korrekt - dvs vad man normalt brukar mena med en 1-1 funktion. Dvs det är aldrig fallet att två olika värden i A mappas till samma värde i B.

Funktionen f:s värdemängd behöver ju inte vara hela B. Då finns det ett värde b i B som inte ligger i f:s värdemängd, så i det fallet får vi att f^-1(b) = $\varnothing$, dvs innehåller noll element. Om dock b ligger i f:s värdemängd så innehåller f^-1(b) exakt ett värde för en 1-1 funktion.

Du skulle alternativt kunna definiera A $~$ B på så sätt att det finns en funktion f: A $\to$ B sådan att f^-1(b) innehåller exakt ett värde för varje b i B.

Tomten skrev:

Om inget annat anges gäller att en funktion avbildar HELA A  IN I B dvs f(A) är en delmängd av B. Det behöver således inte alltid finnas något element i A som avbildas på ett givet element i y. Detta hindrar inte att f kan vara 1-1. Om du skärper definitionen så som du angett så blandar du ihop

-begreppet att en funktion f är "på" dvs varje element i B har en urbild i A (det kallas för att fknen är SURJEKTIV)

med

begreppet att fknen är 1-1 (vilket kallas för att fknen är INJEKTIV).

De två begreppen är oberoende av varandra. 

Okej men då har jag svårt att förstå att A ~ B $\Rightarrow$ B ~ A. För som du säger att hela A ska avbildas på åtminstone en delmängd av B, så måste ju hela B avbildas på en delmängd av A. Om vi nu säger att B har fler element än A, då kommer man ju inte kunna uppehålla kriteriet att A och B ska vara 1 to 1 om hela B ska avbildas på A om vi inte tillåter att definitionsmängden av en funktion $f$ bara antar en delmängd av B för då skulle man kunna göra så at delmängden av B och mängden A har lika många element? Eller är det något jag misstar mig här?

EDIT: Oj då, jag missade visst en kritisk mening i ditt svar "Det behöver således inte alltid finnas något element i A som avbildas på ett givet element i y", Hmm, då tänker jag att meningen i Rudin  "[...] and suppose that with each element x of A there is associated, in some manner, an element of B, which we denote by f(x). Then f is said to be a function from A to B [...]" känns lite konstig och att man istället borde säga att "[...] and suppose that with each element x for a subset of A there is associated..."

Jag har då också lite svårt att förstå stycket "For two infinite sets A and B, we evidently have A ~ B if and only if A and B contain the same number of elements." För det stycket säger mig att det borde vara exakt ett element f(x) för varje x som jag sa i inlägget?

HaCurry skrev:

Tomten skrev:

Om inget annat anges gäller att en funktion avbildar HELA A  IN I B dvs f(A) är en delmängd av B. Det behöver således inte alltid finnas något element i A som avbildas på ett givet element i y. Detta hindrar inte att f kan vara 1-1. Om du skärper definitionen så som du angett så blandar du ihop

-begreppet att en funktion f är "på" dvs varje element i B har en urbild i A (det kallas för att fknen är SURJEKTIV)

med

begreppet att fknen är 1-1 (vilket kallas för att fknen är INJEKTIV).

De två begreppen är oberoende av varandra. 

Okej men då har jag svårt att förstå att A ~ B $\Rightarrow$ B ~ A. För som du säger att hela A ska avbildas på åtminstone en delmängd av B, så måste ju hela B avbildas på en delmängd av A. Om vi nu säger att B har fler element än A, då kommer man ju inte kunna uppehålla kriteriet att A och B ska vara 1 to 1 om hela B ska avbildas på A om vi inte tillåter att definitionsmängden av en funktion $f$ bara antar en delmängd av B för då skulle man kunna göra så at delmängden av B och mängden A har lika många element? Eller är det något jag misstar mig här?

 

EDIT: Oj då, jag missade visst en kritisk mening i ditt svar "Det behöver således inte alltid finnas något element i A som avbildas på ett givet element i y", Hmm, då tänker jag att meningen i Rudin  "[...] and suppose that with each element x of A there is associated, in some manner, an element of B, which we denote by f(x). Then f is said to be a function from A to B [...]" känns lite konstig och att man istället borde säga att "[...] and suppose that with each element x for a subset of A there is associated..."

Jag har då också lite svårt att förstå stycket "For two infinite sets A and B, we evidently have A ~ B if and only if A and B contain the same number of elements." För det stycket säger mig att det borde vara exakt ett element f(x) för varje x som jag sa i inlägget?

korrektion, det ska stå finite istället för infinite i det sista stycket som det står i den andra bilden.

I din kommentar ovan säger du att om A avbildas på åtminstone en delmängd av B "så måste ju hela B avbildas på en delmängd av A". Det gäller inte. Motexempel: Låt A vara mängden av talen 1,2,3 (har tyvärr ej mängdsymbol på min dator) och B mängden av talen 2,4,6,7 så avbildar f(n)=2n  A på  C= mängden av 2,4,6  som är en äkta delmängd av B. Här är f injektiv men inte surjektiv (1-1 men inte på).

I sin definition av A ~ B förutsätter Rudin att det ska finnas en avbildning, som både är "på" dvs surjektiv och 1-1 dvs injektiv. En sådan avbildning kallas bijektiv. Det är inte alltid det finns en sådan avbildning, men om den finns, ja då har A och B "samma antal element". Det senare är luddigt uttryckt, om antalet element är oändligt. Korrekt uttryck är, att de har samma kardinaltal. Notera emellertid t ex  att mängden A av de jämna positiva heltalen har samma kardinaltal som mängden B av alla positiva heltal, och detta gäller trots att A är en äkta delmängd av B.  Den bijektiva avbildningen i detta fall då? Ja, sätt  f(n)= n/2  där n är ett jämnt heltal. Varje heltal är då bild av det jämna heltalet n och bara av detta heltalet. 

HaCurry skrev bl.a.:  Okej men då har jag svårt att förstå att A ~ B ⇒ B ~ A.

Du måste hålla isär 1-1 avbildningar och ekvivalensavbildningar - de senare är 'onto'  !

Tomten skrev:

I din kommentar ovan säger du att om A avbildas på åtminstone en delmängd av B "så måste ju hela B avbildas på en delmängd av A". Det gäller inte. Motexempel: Låt A vara mängden av talen 1,2,3 (har tyvärr ej mängdsymbol på min dator) och B mängden av talen 2,4,6,7 så avbildar f(n)=2n  A på  C= mängden av 2,4,6  som är en äkta delmängd av B. Här är f injektiv men inte surjektiv (1-1 men inte på).

I sin definition av A ~ B förutsätter Rudin att det ska finnas en avbildning, som både är "på" dvs surjektiv och 1-1 dvs injektiv. En sådan avbildning kallas bijektiv. Det är inte alltid det finns en sådan avbildning, men om den finns, ja då har A och B "samma antal element". Det senare är luddigt uttryckt, om antalet element är oändligt. Korrekt uttryck är, att de har samma kardinaltal. Notera emellertid t ex  att mängden A av de jämna positiva heltalen har samma kardinaltal som mängden B av alla positiva heltal, och detta gäller trots att A är en äkta delmängd av B.  Den bijektiva avbildningen i detta fall då? Ja, sätt  f(n)= n/2  där n är ett jämnt heltal. Varje heltal är då bild av det jämna heltalet n och bara av detta heltalet. 

Okej tack för svaret (och tack alla andra för svaren, jag läser igenom dem jag lovar 😉), det verkar som att jag blandar ihop begrepp, jag ska läsa på och får återkomma när jag har förstått lite bättre!

Injektiv och surjektiv är bättre namn. Alltid förvirrats själv av "1-1".