8 svar
374 visningar
HaCurry behöver inte mer hjälp
HaCurry 235
Postad: 29 jun 2021 17:09

Förståelse av 1-1 mapping, Rudin

Hej, har en fråga angående 1-1 mapping mellan två mängder A och B eller att A ~ B. Ur Principles of mathematical analysis ges följande definition

 

Jag känner att man behöver utöka definition 2.2 till "If for each yB,  f-1(y) consists of exactly one element [...]"

Antag att vi kör med Rudins definiton och antag att A ~ B och att B har fler antal element än A då y'B sådant att f-1(y')=, dvs. det finns inga x som uppfyller f(x)=y' och om A ~ B B ~ A gäller då kommer det ju vara så att om man vill mappa B till A så måste ett element i A ha två associerade y:n, dvs. för en godtycklig funktion g så kommer x= {g(y'), g(y'')}.

Vad är det jag förstår fel här?

// Iram Haque

Tomten 1827
Postad: 29 jun 2021 18:08

Om inget annat anges gäller att en funktion avbildar HELA A  IN I B dvs f(A) är en delmängd av B. Det behöver således inte alltid finnas något element i A som avbildas på ett givet element i y. Detta hindrar inte att f kan vara 1-1. Om du skärper definitionen så som du angett så blandar du ihop

-begreppet att en funktion f är "på" dvs varje element i B har en urbild i A (det kallas för att fknen är SURJEKTIV)

med

begreppet att fknen är 1-1 (vilket kallas för att fknen är INJEKTIV).

De två begreppen är oberoende av varandra. 

PATENTERAMERA 5931
Postad: 29 jun 2021 18:16

Rudins definition av 1-1 verkar korrekt - dvs vad man normalt brukar mena med en 1-1 funktion. Dvs det är aldrig fallet att två olika värden i A mappas till samma värde i B.

Funktionen f:s värdemängd behöver ju inte vara hela B. Då finns det ett värde b i B som inte ligger i f:s värdemängd, så i det fallet får vi att f-1(b) = , dvs innehåller noll element. Om dock b ligger i f:s värdemängd så innehåller f-1(b) exakt ett värde för en 1-1 funktion.

Du skulle alternativt kunna definiera A ~ B på så sätt att det finns en funktion f: A  B sådan att f-1(b) innehåller exakt ett värde för varje b i B.

HaCurry 235
Postad: 30 jun 2021 13:43 Redigerad: 30 jun 2021 13:51
Tomten skrev:

Om inget annat anges gäller att en funktion avbildar HELA A  IN I B dvs f(A) är en delmängd av B. Det behöver således inte alltid finnas något element i A som avbildas på ett givet element i y. Detta hindrar inte att f kan vara 1-1. Om du skärper definitionen så som du angett så blandar du ihop

-begreppet att en funktion f är "på" dvs varje element i B har en urbild i A (det kallas för att fknen är SURJEKTIV)

med

begreppet att fknen är 1-1 (vilket kallas för att fknen är INJEKTIV).

De två begreppen är oberoende av varandra. 

Okej men då har jag svårt att förstå att A ~ B \Rightarrow B ~ A. För som du säger att hela A ska avbildas på åtminstone en delmängd av B, så måste ju hela B avbildas på en delmängd av A. Om vi nu säger att B har fler element än A, då kommer man ju inte kunna uppehålla kriteriet att A och B ska vara 1 to 1 om hela B ska avbildas på A om vi inte tillåter att definitionsmängden av en funktion f bara antar en delmängd av B för då skulle man kunna göra så at delmängden av B och mängden A har lika många element? Eller är det något jag misstar mig här?

 

EDIT: Oj då, jag missade visst en kritisk mening i ditt svar "Det behöver således inte alltid finnas något element i A som avbildas på ett givet element i y", Hmm, då tänker jag att meningen i Rudin  "[...] and suppose that with each element x of A there is associated, in some manner, an element of B, which we denote by f(x). Then f is said to be a function from A to B [...]" känns lite konstig och att man istället borde säga att "[...] and suppose that with each element x for a subset of A there is associated..."

Jag har då också lite svårt att förstå stycket "For two infinite sets A and B, we evidently have A ~ B if and only if A and B contain the same number of elements." För det stycket säger mig att det borde vara exakt ett element f(x) för varje x som jag sa i inlägget?

HaCurry 235
Postad: 30 jun 2021 15:45 Redigerad: 30 jun 2021 15:46
HaCurry skrev:
Tomten skrev:

Om inget annat anges gäller att en funktion avbildar HELA A  IN I B dvs f(A) är en delmängd av B. Det behöver således inte alltid finnas något element i A som avbildas på ett givet element i y. Detta hindrar inte att f kan vara 1-1. Om du skärper definitionen så som du angett så blandar du ihop

-begreppet att en funktion f är "på" dvs varje element i B har en urbild i A (det kallas för att fknen är SURJEKTIV)

med

begreppet att fknen är 1-1 (vilket kallas för att fknen är INJEKTIV).

De två begreppen är oberoende av varandra. 

Okej men då har jag svårt att förstå att A ~ B \Rightarrow B ~ A. För som du säger att hela A ska avbildas på åtminstone en delmängd av B, så måste ju hela B avbildas på en delmängd av A. Om vi nu säger att B har fler element än A, då kommer man ju inte kunna uppehålla kriteriet att A och B ska vara 1 to 1 om hela B ska avbildas på A om vi inte tillåter att definitionsmängden av en funktion f bara antar en delmängd av B för då skulle man kunna göra så at delmängden av B och mängden A har lika många element? Eller är det något jag misstar mig här?

 

EDIT: Oj då, jag missade visst en kritisk mening i ditt svar "Det behöver således inte alltid finnas något element i A som avbildas på ett givet element i y", Hmm, då tänker jag att meningen i Rudin  "[...] and suppose that with each element x of A there is associated, in some manner, an element of B, which we denote by f(x). Then f is said to be a function from A to B [...]" känns lite konstig och att man istället borde säga att "[...] and suppose that with each element x for a subset of A there is associated..."

Jag har då också lite svårt att förstå stycket "For two infinite sets A and B, we evidently have A ~ B if and only if A and B contain the same number of elements." För det stycket säger mig att det borde vara exakt ett element f(x) för varje x som jag sa i inlägget?

korrektion, det ska stå finite istället för infinite i det sista stycket som det står i den andra bilden.

Tomten 1827
Postad: 30 jun 2021 17:02

I din kommentar ovan säger du att om A avbildas på åtminstone en delmängd av B "så måste ju hela B avbildas på en delmängd av A". Det gäller inte. Motexempel: Låt A vara mängden av talen 1,2,3 (har tyvärr ej mängdsymbol på min dator) och B mängden av talen 2,4,6,7 så avbildar f(n)=2n  A på  C= mängden av 2,4,6  som är en äkta delmängd av B. Här är f injektiv men inte surjektiv (1-1 men inte på).

I sin definition av A ~ B förutsätter Rudin att det ska finnas en avbildning, som både är "på" dvs surjektiv och 1-1 dvs injektiv. En sådan avbildning kallas bijektiv. Det är inte alltid det finns en sådan avbildning, men om den finns, ja då har A och B "samma antal element". Det senare är luddigt uttryckt, om antalet element är oändligt. Korrekt uttryck är, att de har samma kardinaltal. Notera emellertid t ex  att mängden A av de jämna positiva heltalen har samma kardinaltal som mängden B av alla positiva heltal, och detta gäller trots att A är en äkta delmängd av B.  Den bijektiva avbildningen i detta fall då? Ja, sätt  f(n)= n/2  där n är ett jämnt heltal. Varje heltal är då bild av det jämna heltalet n och bara av detta heltalet. 

farfarMats 1187
Postad: 30 jun 2021 17:20

HaCurry skrev bl.a.:  Okej men då har jag svårt att förstå att A ~ B B ~ A.

Du måste hålla isär 1-1 avbildningar och ekvivalensavbildningar - de senare är 'onto'  !

HaCurry 235
Postad: 30 jun 2021 20:04 Redigerad: 30 jun 2021 20:05
Tomten skrev:

I din kommentar ovan säger du att om A avbildas på åtminstone en delmängd av B "så måste ju hela B avbildas på en delmängd av A". Det gäller inte. Motexempel: Låt A vara mängden av talen 1,2,3 (har tyvärr ej mängdsymbol på min dator) och B mängden av talen 2,4,6,7 så avbildar f(n)=2n  A på  C= mängden av 2,4,6  som är en äkta delmängd av B. Här är f injektiv men inte surjektiv (1-1 men inte på).

I sin definition av A ~ B förutsätter Rudin att det ska finnas en avbildning, som både är "på" dvs surjektiv och 1-1 dvs injektiv. En sådan avbildning kallas bijektiv. Det är inte alltid det finns en sådan avbildning, men om den finns, ja då har A och B "samma antal element". Det senare är luddigt uttryckt, om antalet element är oändligt. Korrekt uttryck är, att de har samma kardinaltal. Notera emellertid t ex  att mängden A av de jämna positiva heltalen har samma kardinaltal som mängden B av alla positiva heltal, och detta gäller trots att A är en äkta delmängd av B.  Den bijektiva avbildningen i detta fall då? Ja, sätt  f(n)= n/2  där n är ett jämnt heltal. Varje heltal är då bild av det jämna heltalet n och bara av detta heltalet. 

Okej tack för svaret (och tack alla andra för svaren, jag läser igenom dem jag lovar 😉), det verkar som att jag blandar ihop begrepp, jag ska läsa på och får återkomma när jag har förstått lite bättre!

BrickTransferUtopia 34 – Fd. Medlem
Postad: 26 aug 2021 05:21

Injektiv och surjektiv är bättre namn. Alltid förvirrats själv av "1-1".

Svara
Close