Första steget i induktionsbevis om n>=4?

Nej, vi påstår att likheten är uppfylld om $n \geq 4$. Om inget annat anges brukar man börja på n=0 eller n=1 beroende på om din lärare eller boken inkluderar eller exkluderar 0 som ett naturligt tal.

Om vi testar n=2 så får vi $9 \geq 20$ vilket självklart inte stämmer.

Dracaena skrev:

Nej, vi påstår att likheten är uppfylld om $n \geq 4$. Om inget annat anges brukar man börja på n=0 eller n=1 beroende på om din lärare eller boken inkluderar eller exkluderar 0 som ett naturligt tal.

Om vi testar n=2 så får vi $9 \geq 20$ vilket självklart inte stämmer.

Så jag skriver in n från 0 upp till att påståendet stämmer, vilket då blir n$\ge$4 ?

I detta fallet behöver vi inte prova något $n \in [0,3]$ då uppgiften ber oss visa att det stämmer om och endast om $n \geq 4$. 

Vårt basfall blir alltså det minsta möjliga n vilket är 4. 

(Fortsätter här)

Nu har jag försökt lösa beviset på två sätt: ett där jag lägger till en ”extra” P(k) som min lärare sagt att jag ska göra (han har inte specificerat vilka fall det gäller för) och ett där jag inte gör det. Båda blir fel.

Lite otydlig uträkning med gjorde mitt bästa

Visa genom induktion att $3^n \ge4n^2+2^n, n\ge 4$

Basfall: VL = 3⁴ = 81   HL = 4^.42+24 = 4^.16+16 = 80 så VL > HL, d v s påståendet stämmer för n = 4.

Induktionsantagande: Antag att OM $3^n \ge4n^2+2^n$ stämmer för n = p, så stämmer det även om n = p+1

VL = 3^p+1 = 3^.3^p > 3(4p²+2^p) = 12p²+3^.2^p (enligt induktionsantagandet)

HL = 4(p+1)²+2^p+1 = 4(p²+2p+1)+2^.2^p

VL-HL = 12p²+3^.2^p - (4(p²+2p+1)+2^.2^p) = 12p²-4p²-8p-4+3^.2^p-2^.2^p=8p²-8p-2+2^p = 8(p-0,5)²- 4 +2^p som är positivt för alla värden på p som är större än 1.  

Påståendet är sant för n = 4, och enligt induktionsprincipen är det  då sant även för n = 5, n = 6 och så vidare.

Hur får du 3^k+1 att bli lika med 3^k + 3^k+1?

Smaragdalena skrev:

Visa genom induktion att $3^n \ge4n^2+2^n, n\ge 4$

Basfall: VL = 3⁴ = 81   HL = 4^.42+24 = 4^.16+16 = 80 så VL > HL, d v s påståendet stämmer för n = 4.

Induktionsantagande: Antag att OM $3^n \ge4n^2+2^n$ stämmer för n = p, så stämmer det även om n = p+1

VL = 3^p+1 = 3^.3^p > 3(4p²+2^p) = 12p²+3^.2^p (enligt induktionsantagandet)

HL = 4(p+1)²+2^p+1 = 4(p²+2p+1)+2^.2^p

VL-HL = 12p²+3^.2^p - (4(p²+2p+1)+2^.2^p) = 12p²-4p²-8p-4+3^.2^p-2^.2^p=8p²-8p-2+2^p = 8(p-0,5)²- 4 +2^p som är positivt för alla värden på p som är större än 1.  

Påståendet är sant för n = 4, och enligt induktionsprincipen är det  då sant även för n = 5, n = 6 och så vidare.

 

Hur får du 3^k+1 att bli lika med 3^k + 3^k+1?

Jag får det inte som lika med utan jag lägger till 3^k. Det är det som är grejen, jag förstår inte när man inte ska lägga till den i vänsterledet och inte.

För i en annan uppgift där man ska bevisa P(n)=$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$ så får man$P\left(k\right) = 1^3+2^3+3^3+...+k^3=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}$

Och när man ska bevisa P(k+1) så skriver man  $P(k+1) = 1^3+2^3+3^3+...+k^3+{(k+1)}^3 =\frac{ (k+1)2(k+1+1)2}{4}$

Jag förstår inte varför man använder både $1^3+2^3+3^3+...+k^3$ och ${(k+1)}^3$ i vänsterledet i den uppgiften men i den som tråden handlar om så ska jag bara använda $3^{k+1}$ i vänster ledet och inte $3^k+3^{k+1}$.

Det beror på vad det är du vill bevisa. I den här tråden handlar det om 3ⁿ. Om n = k har du alltså k stycken treor multiplicerade med varandra.  Om n = k+1 har du k+1 stycken treor multiplicerade med varandra, så 3^k+1 = 3^.3^k. I ditt andra exempel handlar det om att addera ihop n stycken termer (som var och en är n³) till en summa. Om n = k har du k stycken termer, om n = k+1 stycken termer,  så då är det "+ (k+1)³". Som så många gånger i matematik så handlar det om  läsförståelse.

Smaragdalena skrev:

Det beror på vad det är du vill bevisa. I den här tråden handlar det om 3ⁿ. Om n = k har du alltså k stycken treor multiplicerade med varandra.  Om n = k+1 har du k+1 stycken treor multiplicerade med varandra, så 3^k+1 = 3^.3^k. I ditt andra exempel handlar det om att addera ihop n stycken termer (som var och en är n³) till en summa. Om n = k har du k stycken termer, om n = k+1 stycken termer,  så då är det "+ (k+1)³". Som så många gånger i matematik så handlar det om  läsförståelse.

Jahaaa, okej jag fattar. Tack så mycket! Har krånglat så mycket det dethär.