Första ordningens separabel differentialekvation med begynnelsevärde

Bestäm den lösning till differentialekvationen $y' = \frac{1 + y}{x^{2} + x}$ (1)

för vilken gäller att y(1) = -2 .

Vi har att göra med en separabel ekvation så vi får efter ett antal manipuleringar $\ln (1 + y) = \ln | x | - \ln | x + 1 | + c$ (2)

Uttrycket är korrekt eftersom jag fick ut rätt svar enligt facit då lösningen med begynnelsevillkoret y(-2) = 1 skulle tas fram. Problemet är att när jag nu ska ta fram c för y(1) = -2 så får jag $\ln (1 + y) = \ln | x | - \ln | x + 1 | + c \to / d å y = - 2, x = 1 / \ln (- 1) = \ln | 1 | - \ln | 2 | + c$ (3)

Här kan ni se hur jag fick fram ekvationen (2) (jag är dock osäker om jag kanske ska sätta ln(1+y) som ln|1+y| istället kanske?)

$y' = \frac{1 + y}{x^{2} + x} \to \frac{1}{1 + y} y' = \frac{1}{x^{2} + x} \leftrightarrow \int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x \leftrightarrow . . . \to \ln (1 + y) = \ln (x) - \ln (x + 1) + c$

Facit säger $y = - \frac{3 x + 1}{x + 1}, x > 0$

Sätt e upphöjt till vänsterledet = e upphöjt till högerledet så trillar det hela ner till 1+y = k x /(x+1)

där k är en konstant som bestäms av begynnelsevillkoret.

Sätt x>0 istället för absolutbeloppen.

HEOB skrev :
Sätt e upphöjt till vänsterledet = e upphöjt till högerledet så trillar det hela ner till 1+y = k x /(x+1)
där k är en konstant som bestäms av begynnelsevillkoret.
Sätt x>0 istället för absolutbeloppen.

Var kommer konstanten k ifrån? Man kan väl bara inte sätta en godtycklig konstant i slutet sådär. Jag får konstanten till e^c som är strängt större än noll ==> 1+y= e^c * x(x+1) = /då y=-2, x= 1/ = -1 = e^c * 1/2

som saknar lösning.

Sen förstår jag inte riktigt; ln(1+y) = ln(x) - ln(x+1) + c är ju inte definierad för y=-2. Är det okej att sätta absolutbeloppet ln|1+y| istället för ln(1+y)?

Ja, primitiva funktionen till 1/y är ln|y|.

Vänsterledet i din ekvation (2) bör alltså skrivas som ln|1+y| vilket leder till att e^c (=k) får ett positivt värde.

Man borde också fundera lite mer på vad som händer för negativa x-värden.

Svara

Visa senaste svar